様相論理 is Fun

様相論理の学習ノートです

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atomicisation

$\mathbb{N}$の有限集合全体と余有限集合(補集合が有限)全体からなるBool代数を考える.

 

$B$の ultra filter は, 1元集合で生成される principal filter であるか, または, non-principal である, 余有限集合全体である.

 

次のようなBool代数$B^\prime$を構成しよう.

  1. 埋め込み$i:B\to B^\prime$が存在する.
  2. $B^\prime$は atomic である, つまり, $B^\prime$の ultra filter はすべてprincipal である.
  3. ultra filter の対応$i^{-1}:u\to i^{-1}(u)$は全単射である.

 

$\infty\not\in\mathbb{N}$を用意し, $\mathbb{N}\cup\{\infty\}$の有限部分集合全体および, $\infty$を含む余有限部分集合全体からなるBool代数を$B^\prime$とすればよい.