様相論理 is Fun

様相論理の学習ノートです

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フレームに基づかない様相論理の意味論について

命題論理の意味論における解釈とは、真偽値関数、あるいは、リンデンバウム代数における極大フィルターを一つ定めることである。

 

同様の構成による様相論理の意味論を考える。

 

non-canonicityやincompletenessの解析に役立たなければ、意味はないが、とりあえずやってみる。

 

様相論理式全体の集合を$P_\infty$とする。上に極大フィルターと書いたけれども、商をとる以前の$P_\infty$における部分集合を定めることにする。

 

解釈とは、$P_\infty$の部分集合の組$(V, U)$のことである。

 

ここで、$V$は、真である様相論理式全体からなる部分集合とみなされる。$U$は様相的値が$1$である論理式全体からなる部分集合とみなされる。$V$と$U$に対しては、相応の性質が要求される. 特に、$V$と$U$の関係として、どのような性質を要求するかによって、その性質をもつ解釈全体が$S4$と呼ぶべきものになったり$S5$と呼ぶべきものになったりする.

 

$V$は、演算子に関して真偽値関数と全く同様に振る舞うとする. つまり$p\vee q\in V$  $\Leftrightarrow$ ($p\in V$または$q\in V$)などが成り立つ.

 

一方、$U$についてであるが、$U$については、$V$よりは緩い性質を要求する.

 

  • $p\in U$,  $p\rightarrow q\in U$ならば $q\in U$
  • $p\not\in U$ならば$\neg p\in U$(逆は要求しない)

など

 

また$U$と$V$の関係についてであるが、これは様相演算子の解釈に関わる:

  • $Mp\in V$ $\Leftrightarrow$ $p\in U$
  • あるいは、同値であるが、$Lp\in V$ $\Leftrightarrow\neg p\not\in U$

このように解釈を定めたときに、任意の解釈に対して$V$に属するという意味において$K$(つまり$L(p\rightarrow q)\Rightarrow(Lp\rightarrow Lq)$)は恒真である. ついでに、$D$ ($Lp\rightarrow Mp$)も恒真であるが、前提的に上の定義を採用することにする。