様相論理 is Fun

様相論理の学習ノートです

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類題を集める(確率とベクトルの単純な合わせ問題)

以下の空欄をうめよ.
  1. 1個のサイコロを2回ふり, 出た目を順に$x$, $y$とする. 座標平面上のベクトルを$\vec{p}$を$\vec{p}=(x, y)$で定める.
    1. ベクトル$\vec{a}=(1, 1)$に対し, $\vec{a}$と$\vec{p}$が平行になる確率はである.
    2. ベクトル$\vec{b}=(1, 2)$に対し, $\vec{b}$と$\vec{p}$が平行になる確率はである.
    3. ベクトル$\vec{c}=(2, 3)$に対し, $\vec{c}$と$\vec{p}$が平行になる確率はである.
  2. 1個のさいころを4回ふり, 出た目を順に$x$, $y$, $z$, $w$とする. 座標平面上の2つのベクトル$\vec{p}=(x, y)$, $\vec{q}=(z, w)$に対し, $\vec{p}$と$\vec{q}$が平行になる確率は である.
(会津大学2001年)
赤と青のサイコロ1つずつを同時に振って, 赤のサイコロの出た目が$x$, 青のサイコロの出た目が$y$であるとき, ベクトル$\vec{a}=(x, y)$を対応させる試行を考える. このベクトル$\vec{a}$について$\lvert\vec{a}\rvert<3$となる確率はである. また, ベクトル$\vec{c}=(-1, 2)$に対して$\vec{a}\perp\vec{c}$となる確率はである. この試行を2回繰り返したとき, 1回目に決まるベクトルを$\vec{a}$として, 2回目に決まるベクトルを$\vec{b}$とする. 平面上に原点$\mathrm{O}$を固定して位置ベクトルとして見れば点$\mathrm{A}(\vec{a})$と点$\mathrm{B}(\vec{b})$が決まる. 3点$\mathrm{O}$, $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$が一直線上にある確率はである. ただし, 点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{B}$が同一の点となるときも, 3点$\mathrm{O}$, $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$が一直線上にあるとみなすことにする. さらに, 3点$\mathrm{O}$, $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$が三角形を作るとき$\triangle\mathrm{OAB}$の重心が$(3, 3)$となる条件付き確率はである. よって, $\mathrm{OAB}$が三角形であり, かつ重心が$(3, 3)$にはならない確率はである.
(愛知大学2016年)