様相論理 is Fun

様相論理の学習ノートです

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図形の問題

任意の三角形において、たがたが一つの辺だけが、向かい合う頂点からの高さよりも小さいことを証明せよ。
$\triangle\mathrm{ABC}$を任意の三角形とする。$\mathrm{BC}=a$、$\mathrm{CA}=b$、$\mathrm{AB}=c$、$\angle\mathrm{A}=A$、$\angle\mathrm{B}=B$、$\angle\mathrm{C}=C$と略記する。すべての辺が、向かい合う頂点からの高さ以上であれば証明すべきことがないので、一つの辺、仮に$\mathrm{BC}$、が、向かい合う頂点$\mathrm{A}$からの高さより小さいと仮定して、$\mathrm{CA}$および$\mathrm{AB}$がそれぞれ$\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$からの高さ以上であることを示す。 $\mathrm{A}$からの高さは$b\sin C$、$c\sin B$と表されるので、仮定より \[ a<b\sin C, a<c\sin B \] が成り立つ。$\sin C\leqq1$、$\sin B\leqq1$とあわせて$a<b$、$a<c$であることがわかる。 $\mathrm{B}$からの高さは$a\sin C$に等しく、$a<b$から$a\sin C<b\sin C$。$\sin C\leqq1$より$a\sin c< b$。すなわち、辺$\mathrm{CA}$の長さは$\mathrm{B}$からの高さより大きい。 同様にして、辺$\mathrm{AB}$の長さは$\mathrm{C}$からの高さより大きい。以上から、主張は成り立つ。