義務論理について考える

義務論理(Deontic logic)について考えてみます

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鳩の巣原理の問題

$A$を$100$以下の自然数の集合とする. また, $50$以下の自然数$k$に対し, $A$の要素でその奇数の約数のうち最大のものが$2k-1$となるものからなる集合を$A_k$とする. このとき, 次の問いに答えよ.
  1. $A$の各要素は, $A_1$から$A_{50}$までの$50$個の集合のうちのいずれか1つに属することを示せ.
  2. $A$の部分集合$B$が$51$個の要素からなるとき, $\dfrac{y}{x}$が整数となるような$B$の異なる要素$x$, $y$が存在することを示せ.
  3. 50個の要素からなる$A$の部分集合$C$で, その中に$\dfrac{y}{x}$が整数となるような異なる要素$x$, $y$が存在しないものを1つ求めよ.
$x$, $y$がともに整数であるような座標平面上の点$(x, y)$を格子点という. このとき, 次の(1), (2)に答えなさい.
  1. 座標平面上で1個の格子点を任意に選ぶ. その選んだ格子点を$(a, b)$とするとき, $a$が奇数で$b$が偶数となる確率を求めなさい.
  2. 座標平面上で5個の異なる格子点を任意に定める. このとき, そのうちある2点の中点は格子点になることを証明しなさい. ここで, 2点$(a_1, b_1)$, $(a_2, b_2)$の中点の座標は$\left(\dfrac{a_1+b_1}{2}, \dfrac{b_1+b_2}{2}\right)$で与えられる.