様相論理 is Fun

様相論理の学習ノートです

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類題を集める(連続する自然数の和)

連続する2つ以上の自然数からなる数列$\{a_n\}$があり, 総和が$2008$であるという.

  1. $2008$を素因数分解せよ.
  2. 数列$\{a_n\}$の項数は奇数でないことを示せ.
  3. 数列$\{a_n\}$を求めよ.
(昭和大学2008年)

$m$自然数, $n$を2以上の整数とする. $m$から始まる連続した$n$個の自然数の和を$S(m, n)$と書く. 以下の問いに答えよ.

  1. $S(m, n)$を求めよ.
  2. $S(m, n)=90$を満たすような$(m, n)$の組をすべて求めよ.
  3. $S(m, n)=1024$を満たすような$(m, n)$の組は存在しないことを示せ.
(広島大学2013年)
次の問いに答えなさい.
  1. 次の等式(A)を, 数学的帰納法によって証明しなさい. \[ 1+2+3+\cdots+n=\dfrac{1}{2}n(n+1)\quad\cdots\cdots(A) \]
  2. 連続した自然数の組$(500, 501, 502, 503)$は, そこに並んだすべての数の総和が$2006$になるものである. \[ 500+501+502+503=2006 \] このように2個以上連続した自然数の組で, そこに並んだすべての数の総和が2006になるものをすべて求めなさい. ただし, 必要ならば, つぎのように素因数分解できることを利用してよい. \[ 2006=2\times17\times59 \]
次の問いに答えよ.
  1. $2015$の正の約数の個数を求めよ.
  2.  $n$を3以上の奇数とする. $a$を最小の値とする連続する$n$個の自然数の和が2015になるような$a$と$n$の組をすべて求めよ.
  3. 3個以上の連続する奇数個の自然数の和は, 1を除くある正の奇数で割り切れることを証明せよ.
  4. $m$自然数とするとき, $2^m$は2個以上の連続する自然数の和で表せないことを証明せよ.
(滋賀大学2015年)
自然数を2個以上の連続する自然数の和で表すことを考える. たとえば, $42$は$3+4+\cdots+9$のように2個以上の連続する自然数の和で表せる。 次の問いに答えよ.
  1. 2020を2個以上の連続する自然数の和で表す表し方をすべて求めよ.
  2. $a$を$0$以上の整数とするとき, $2^a$は2個以上の連続する自然数の和で表せないことを示せ.
  3. $a$, $b$を自然数とするとき, $2^a(2b+1)$は2個以上の連続する自然数の和で表せることを示せ.
  1. 整数からなる公差$1$の等差数列$a$, $b$, $c$, $d$で \[ a^3+b^3+c^3=d^3 \] をみたすものを求めよ.
  2. $0$でない整数からなる等比数列$a$, $b$, $c$, $d$で \[ a^3+b^3+c^3=d^3 \] をみたすものは存在しないことを示せ.