義務論理について考える

義務論理(Deontic logic)について考えてみます

再出発:様相論理の体系Dに対応する様相代数の構成について

発端

真偽値の類似である「善悪値」を用いて義務論理の意味論を構成することを考える。

 

行為を表す論理式全体から、$\{0,1\}$への写像$v$を考え、$v(p)=0$であることを、行為$p$は悪である、と解釈し、$v(p)=1$であることを、行為$p$は悪でない、と解釈する。

 

$\mathrm{OB}$ (~すべき)、$\mathrm{PE}$ (~してよい)を様相結合子とし、行為を表す論理式$p$に対して、$v(p)=1$のとき、$\mathrm{PE}p$が真であると定め、$v(¬p)=0$のとき$\mathrm{OB}p$が真であると定める。

 

次の具体例からわかるように、$v$が満たすべき条件は、$\vee$、$\wedge$、$\neg$を保存する真偽値関数と異なる。

 

$p$:飲酒をする

$q$:車を運転する

とすると、$v(p)=1$かつ$v(q)=1$であるが、$v(p\wedge q)=0$

 

一方において、トートロジーとなるべき論理式がトートロジーとなるためには、$v$は$\vee$を保存することが要求される。 

 

このような付値$v$を導入することによる義務論理の意味論を構想したけれども、勉強(

    1. 束と論理 、 松本和夫著、森北出版

      、1980

    2. 位相と論理、田中俊一著、日本評論社、2000

    3. 記号論理学講義、清水義夫著、東京大学出版会、2013

 による。上の2冊が絶版なのは残念!)

が追いつきつつあり(追いつけていないのは残念)、代数的な意味論の構成について知ったので、nonsenseであるかもしれないけれども、改めて、上述の構成を述べ直す。

 

定式化

論理式により定まるブール代数を$P$とし、$P$から、$P$から作られた様相論理式により定まる様相代数$B$と同型な様相代数$S(P)$を、Stone空間を模して構成する。

 

ただし、簡単のために、様相代数$B$は、$\mathrm{OB}p$と$\mathrm{PE}p$ ($p\in P$)たちを論理結合子によって結合してできる元のみからなるものとし、様相論理式と通常の論理式を混在させない。

 

論理式により定まるブール代数$P$において、$P$から${0, 1}$への準同型写像$v$の余核($v^{-1}(1)$)は、素フィルターであるが、一方、先ほど述べた善悪値関数$v$は、準同型でないので、この場合においては、$v^{-1}(1)$はフィルターでない。

 

$\vee$を保存することから、単にupper set ($x\in v^{-1}(1)$、$x\leqq y$ならば$y\in v^{-1}(1)$である、ということ)である。ただし、素 ($x\vee y\in v^{-1}(1)$ならば$x\in v^{-1}(1)$または$y\in v^{-1}(1)$)であることは同様である。

 

よって、素フィルターの類似物として、素upper setを考え、Stone空間の類似物として、$P$の素upper set全体$S(P)$を考える。

 

このとき、次のような写像$h$によって、$B$は$S(P)$と同型になる(はず)。

 

$h(\mathrm{PE}p)=\{U\in S(P)\mid p\in U\}$

$h(\mathrm{OB}p)=\{U\in S(P)\mid\neg p\not\in U\}$

この対応を、$\vee$、$\wedge$、$\neg$を保つように、自然に$B$全体に延長

 

証明は、次回.