義務論理について考える

義務論理(Deontic logic)について考えてみます

A First Step

論理式全体からなる集合をPとし、Pをトートロジーであるという同値関係によって割った商をP^~とする。PからP^~への自然な全射をφで表す。

 

ブール束P^~からブール束{0,1}への写像はφによってPから{0,1}への写像に延長される。このように延長されたPから{0,1}への写像をP上の付値と呼ぶ。

 

fがP上の付値であり、f=(f^~)◦φであるとする。

 

ブール束P^~上の自己同型全体からなる群をGとし、Gの付値fに対する作用を(σf)(・)=*1によって定める。

 

fをP上の付値とするとき、fによって真偽値が定まる様相オペレータ*を導入する。

 

具体的に述べれば、Pの元pに対して、様相論理式*pを考え、*pの真偽値T_f(*p)をT_f(*p)=f(p)で定める。

 

また、様相論理式と∧、∨、¬、⇒によって生成される論理式全体をQで表す。Qから{0,1}への準同型写像になるようにT_fをQ全体に延長する。

 

Qの元qに対して、すべてのGの元σに対してT_{σf}(q)=1が成り立つとき、qは(付値 f あるいは {σf|σ∊G} に関して)トートロジーであるという。

 

このとき、次が成り立つことは、容易に確かめられる。

 

  1. p⇒qがトートロジーであるとき、*p⇒*qがトートロジーであるのは、f が単調増加であるとき、すなわち、ブール束の元としてφ(p)≦φ(q)ならば、f(p)≦f(q)が成り立つとき。
  2. *(p∨q)⇒(*p∨*q)がトートロジーであるのは、f(p_1∨…∨p_n)=max{f(p_1), f(p_2), …, f(p_n)} であるとき
  3. *(p∧q)⇒(*p∧*q)がトートロジーであるのは、f(p_1∧…∧p_n)=min{f(p_1),f(p_2), …, f(p_n)} であるとき

明らかでないのは、*(p⇒q)⇒(*p⇒*q)が成り立つための条件である。

 

これについては、まだ確証が得られていないので、今後の課題とする。

 

MathJaxで書き直すことも課題だなー 

*1:f^~)◦φ)(σ^{-1}(・