義務論理について考える

義務論理(Deontic logic)について考えてみます

トートロジーについて

付値を用いた様相論理の意味論を考える.

 

例えば、事象を表す論理式に対して、その事象が起こる確率を与える付値を考え、具体的には、事象を表す論理式pに対して、その値が1のとき□pが真、その値が0でないとき、♢pが真、と考えたり、あるいは、行為を表す論理式に対して、1と0がそれぞれ善悪を意味するものとし、具体的には、行為を表す論理式pに対して、¬pの値が0のとき、OBpが真、pの値が1であるときPEpが真であると考えたりする、という構想については過去記事において言及済みである。

 

これらの付値は真偽値関数の類似物であるが、これらが満たす性質は真偽値関数のそれとは異なる。特に、真偽値関数の場合は、論理式全体がなすブール束からブール束{0,1}へのブール束としての準同型であるが、新たに考える付値に対しては、このことを仮定しない。

 

特に、pとqの値から、必ずしもp∧qの値が一意的に定まらないので、命題変数の値から、すべての論理式の値が定まらないので、「命題変数の任意の真偽割り当てに対して、pの値が1であるとき、pはトートロジー」というトートロジーの定義に変更を加える必要がある。

 

そこで、改めてトートロジーを定義する。

 

まず、論理式全体からなる集合をPとする。Pの各元に対して、命題論理のトートロジーという同値関係で割った商集合はブール束をなす。正確な言葉使いではなくなってしまうが、重大な影悪影響はないので、前者と後者の区別に頓着しない。(いずれは、可換図式を使うなどして、言い回しを修正する)

 

Pから{0,1}への写像を、P上の付値と呼ぶ。(さしあたっては、二値論理しか考えない)

 

P上の付値vを一つとる。論理式pに対して、♢のような様相オペレーターに対して、v(p)=1であるとき、♢pなどが真であると定める。

 

□のような様相オペレーターに対しては、¬v(¬p)=1であるときに、□pが真であると定める。ここで、外側の¬はブール束{0,1}における演算を表しているので、これは、v(¬p)=0であることを意味する。

 

このようにして、一つのvを定めることにより、様相論理式の真偽が定まる。

 

P上の付値全体からなる集合に対して、ブール束としてのPの自己同型群の作用を考える。

 

つまり付値 f : P→{0, 1}と、σ:P→Pに対して、(σf)(・)=f(σ(・))によって、σfを定義する。(σ^{-1}にすべきかもしれないが、細かい事には頓着しない)

 

fのこの作用による軌道を仮に [f] と記す。

 

さて、トートロジーの定義。

 

様相論理式 p が[f] に関してトートロジーであるとは、任意の [f]の元 g に対して

pが真であることとする。

 

以上の準備をもとに、異なる付値による異なる論理体系の分類の一般論を展開する。

 

もっと成書を読む時間があれば、もっと捗るのになあ。