義務論理について考える

義務論理(Deontic logic)について考えてみます

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いろいろな付値と様相論理の意味論について

真偽値関数は命題全体がなすブール束から、ブール束{0,1}への準同型写像です。

 

真理値関数の類似の付値を考えて、意味論を展開します。

 

たとえば、必然□p(pは必然である)を、事象pが起こる確率が1、♢p(pは可能である)を、事象pが起こる確率は0でない、と解釈できます。

 

定式化します。

 

確率を意味する付値Prを、:事象を表す命題全体から、閉区間[0, 1]への写像として定義します。Pr(p∨q)=Pr(p)+Pr(q)-Pr(p∧q)であり、Pr(p∧q)次第でPr(p∨q)の値が変わるから、Pr(p∨q)=PR(p)∨Pr(q)になるように、[0,1]上の演算∨を定められないので、[0,1]をブール束と考えないか、あるいは付値Prを準同型と考えないようにする必要があります。

 

付値Prの満たす性質は

1. 値域は[0,1] 

2. Pr(¬p)=1-Pr(¬)

3. Pr(p∨q)=Pr(p)+Pr(q)-Pr(p∧q)

4. Pr(p_1∨p_2∨・・・∨p_n)=1 (p_1,p_2,…,p_nはすべての命題変数)

 

次に、事象を表す各命題に対して、命題□p、♢pを考えます。

 

命題□p、♢pの真偽を、

 

□pが真⇔Pr(p)=1

♢pが真⇔Pr(p)>0

 

で定めます。

 

このとき、□(p⇒q)⇒(□p⇒□q)はトートロジーです。(上記の性質を満たす任意のPrに対して真)

 

証明 □(p⇒q)が真であるとする。□pが偽ならば、□p⇒□qが真であるから、与式は真である。

 

□pが真であるとする。このとき□pの真偽の定め方よりPr(p)=1

 

また、□(p⇒q)が真であるという仮定より、Pr(p⇒q)=1

 

p⇒q=¬p∨qだから、Pr(¬p∨q)=1

 

よって、Pr(¬p)+Pr(q)ーPr(¬p∧q)=1

 

仮定Pr(p)=1よりPr(¬p)=1-Pr(p)=0であるから、上式より

 

   Pr(q)=1+Pr(¬p∧q)≧1

 

したがって、Pr(q)=1。ゆえに□pは真であり、□p⇒□qは真であるから、与式は真である。

 

(証明終わり)

 

このように、付値を導入することで、特に付値の条件をいじることで、様相論理の意味論を考えることができることがわかりました。

 

大事なことは、いろいろな付値によって、いろいろな体系を考えられることです。

 

次回は、付値による義務論理の意味論を提示します。