読者です 読者をやめる 読者になる 読者になる

義務論理について考える

義務論理(Deontic logic)について考えてみます

ベン図を使って様相論理の意味論を考える話 その1

ベン図を使って意味論を考えます。

 

この記事では、最も卑近な例として、命題論理の場合を取り上げます。

 

後の記事では、様相論理(Dなど)の意味論が、同じくベン図を使って解釈できることを示す予定です。

 

正確に言えば、ベン図を考えることは本質的ではなく、結合子∧、∨、¬に対して満たす性質をいじって、真偽値と異なるけれども似たような一種の論理値を考えたいのですが、どうせ酔狂、言葉使いにはあまり注意を払いません。

 

簡単のために、2つの命題変数p,qだけを考えます。

 

p,qをあたかも集合のように考えて、ベン図を描きます。

 

4つの命題 p∧q、¬p∧q、p∧¬q、¬p∧¬qは図において連結成分になっています。

 

そして、p∧q、¬p∧q、p∧¬q、¬p∧¬qの真偽値を、対応する連結成分に書き込みます。

 

例えば、pが1(真)で、qが0(偽)である場合は次のように表されます。

 

f:id:umemura_wataru:20170506221157p:plain

 

p,qと結合子∧、∨、¬を組み合わせて作られる命題は、4つの命題 p∧q、¬p∧q、p∧¬q、¬p∧¬qのいくつかの選言で表されるので、ベン図においては、4つの連結成分のいくつかの和集合になり、全部で2^4=16個あります。

 

これら16個命題から{0,1}への写像は2^16通りあります。その中で、真偽値関数はどんな特徴があるか、また、真偽値関数と似ているけど少し異なるような関数を考える余地がないかどうか考えてみましょう。このようにして、様相論理の意味論を考えてみましょう。

 

命題論理の真偽値をベン図で表現したとき、次のことが成り立ちます。

 

  1. ただ一つの連結成分が1、それ以外は0
  2. 連結成分の和集合で表される命題の真偽値は、それらの連結成分の真偽値の最大値
どちらも当たり前のことですが、当たり前を見直して、これらの条件を緩めることを考えてみましょう.
 
続きは次回。