義務論理について考える

義務論理(Deontic logic)について考えてみます

行為の善悪について その3

結合子「∨」について

p, q, r , ...を行為を表す命題変数とし、Jを行為を表す論理式に対して 0 または 1 の値を与える関数で以下の性質を満たすものとする。

 

  1. J(¬p)≦1ーJ(p)
  2. J(¬(¬p))=J(p)
  3. J(p∧q)≧min{J(p), J(q)}

J(p)=1 であることを、行為 p は悪でない、と解釈し、J(p)=0 であることを、行為 p は悪である、と解釈する。

 

上のようにその性質が不等式であらわされることは、真偽値関数の場合と異なり、命題変数の値に対して、結合子によって定義される論理式の値が、性質を満たす範囲で自由度を持つことを意味する。

 

今回は、J が結合子 ∨ に対して満たす性質について考える。

 

ド・モルガンの法則 ¬(p∧q)⇔¬p∧¬q、¬(p∨q)⇔¬p∧¬qは、J による意味論においてもトートロジーであるべきである。

 

よって、J(p∨q)=J(¬p∧¬q)であるから、上記性質3、1より、J(¬p)=0のとき、J(p)=1で、J(p∨q)=1となる。

 

これがJ(q)の値によらないことから、J(p∨q)=1であることの解釈としては、(pまたはq)をすることは悪でない、というよりはむしろ、pまたはqすることの少なくとも一方は悪でない、と考えたほうがよさそうである。

 

この解釈に従えば、

J(p∨q)=max{J(p), J(q)}

とすればよさそうである。

 

以上の準備をもとに、前回のブログの問題に解答を与える。 

umemura-wataru.hatenablog.com

 

それは、[J(p)=1 かつ J(q)=1 かつJ(p∧q)=0となるとき、J(¬p)=1かつJ(¬q)=1」となるか?という問いであった。

 

これは正しい。

 

(解答) J(p)=J*1で、仮定よりJ(p)=1であることから、右辺の値も 1 である。J*2=max{J(p∧q), J(p∧¬q)}で、仮定よりJ(p∧q)=0であることから

右辺はJ(p∧¬q)に等しい。

以上から、J(p∧¬q)=1よって、min{p, ¬q}=1よりJ(¬q)=1

同様に、J(¬p)=1であることも示される。□

 

はじめに述べたように、Jは真偽値関数と異なり、命題変数の値から、結合子によって作られた論理式の値は一意的に定められない。何がどのような値のときに、何の値が一意的に決まるかについては、今後の課題とする。

 

この問題はとりあえず後回しにして、次回は、Jを用いた義務論理の結合子PE(~してよい)、OB(~すべき)に関する意味論について述べる。

*1:p∧q)∨(p∧¬q

*2:p∧q)∨(p∧¬q