様相論理 is Fun

様相論理の学習ノートです

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高校数学

式の意味から和の公式

6と異なる目が出るまで振り続ければ, 1から5の目はそれぞれ確率$\dfrac{1}{5}$で出る。 一方, 同じ規則の下で, 例えば, $1$の目が出る確率を, $1$回目に出る場合, $2$回目に出る場合, ...の互いに排反な事象に分けて求めれば \[ \dfrac{1}{6}+\left(\dfrac{1…

フィボナッチ数列と二項係数の和

$\{f_n\}$をフィボナッチ数列とする. \[ f_1=1、f_2=1, f_{n+2}=f_{n+1}+f_n \] また${}_n\mathrm{C}_r$を二項係数とする. このとき, 正の整数$n$に対して, 次の等式が成り立つ. \[ {}_n\mathrm{C}_0+{}_{n-1}\mathrm{C}_1+{}_{n-2}\mathrm{C}_2+\cdots+{}_{…

ヘロンの公式を使おう!

ヘロンの公式は三角形の面積を3辺の長さから求める公式. $\triangle\mathrm{ABC}$において, $\mathrm{BC}=a$, $\mathrm{CA}=b$, $\mathrm{AB}=c$, $s=\dfrac{a+b+c}{2}$とすると, その面積$S$は次の式で与えられる \[ S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \] つまり \…

類題を集める(トレミーの定理)

円に内接する四角形において、2組の対辺の長さの積の和が対角線の長さの積に等しいという定理。絶妙な補助線による証明が有名。フォーカスゴールドI+Aのコラムに詳しい。この証明を入試で問うたのが下の昭和女子大学の問題。 円に内接する四角形$\mathrm{ABC…

類題を集める(完全順列と確率)

A, B, C, Dの4人が自分の名前を書いたカードを1枚ずつ持っている. これらのカードを一度集めてから1枚ずつ全員に無作為に配るとする. AまたはBが自分の名前のカードを受け取る確率を求めよ. 全員が自分の名前のカードを受け取らない確率を求めよ. (静岡文化…

複素数を使った証明

六角形$\mathrm{ABCDEF}$は円に内接していて, 辺$\mathrm{AB}$, $\mathrm{CD}$, $\mathrm{EF}$はすべて円の半径に等しい.他の3辺の中点によって正三角形が定まることを証明せよ. (Eötvös Competition 1941年) 解答を見る $\mathrm{ABCDEF}$は六角形の頂点は…

類題を集める(確率とベクトルの単純な合わせ問題)

以下の空欄をうめよ. 1個のサイコロを2回ふり, 出た目を順に$x$, $y$とする. 座標平面上のベクトルを$\vec{p}$を$\vec{p}=(x, y)$で定める. ベクトル$\vec{a}=(1, 1)$に対し, $\vec{a}$と$\vec{p}$が平行になる確率はアである. ベクトル$\vec{b}=(1, 2)$に対…

図形の問題

問題 解答 任意の三角形において、たがたが一つの辺だけが、向かい合う頂点からの高さよりも小さいことを証明せよ。 $\triangle\mathrm{ABC}$を任意の三角形とする。$\mathrm{BC}=a$、$\mathrm{CA}=b$、$\mathrm{AB}=c$、$\angle\mathrm{A}=A$、$\angle\math…

類題を集める(くだもの)

dt { border-bottom: solid 1px white; background-color: #00BCD4; color: white; cursor: pointer; padding: 10px; font-weight: bold; } #panel > dd { border: solid 1px Silver; margin: 0px; padding: 10px; } --> ある$80$人の中でみかんが好きな人が…

Pの計算

計算 ここに結果を表示します もう一度計算する? もうちょっと改良しよう。 //

類題を集める(同じものを含む順列)

a, a, b, b, c, cの6文字すべてを一列に並べるとき, 次の設問に答えよ. 並べる方法は何通りあるか. aどうしがどれも隣り合わない並べ方は何通りあるか. 同じ文字どうしがどれも隣り合わない並べ方は何通りあるか. (岡山理科大学2005年) A, A, A, B, B, Cの6…

類題を集める(3つの集合の要素の個数)

100人の生徒に3つの問題A, B, Cを出題したところ, Aが解けた生徒は90人, Bが解けた生徒は75人, Cが解けた生徒は60人で, AとBが解けた生徒は68人, BとCが解けた生徒は68人, CとAが解けた生徒は55人で, 3個とも解けなかった生徒は1人であった. 次の問いに答え…

鳩の巣原理の問題

$A$を$100$以下の自然数の集合とする. また, $50$以下の自然数$k$に対し, $A$の要素でその奇数の約数のうち最大のものが$2k-1$となるものからなる集合を$A_k$とする. このとき, 次の問いに答えよ. $A$の各要素は, $A_1$から$A_{50}$までの$50$個の集合のうち…

類題を集める(係数の最大値)

$\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^{16}$の展開式において, 係数が最も大きいものは$x$のア 上の項であり, その値はイである. (愛知淑徳大学2007年) $(x+5)^{80}$を展開したとき, $x$の何乗の係数が最大になるか答えよ. (弘前大学2006年)

ketpicとTeX2img

ketpicで生成したtexデータをTeX2img TeX2img配布サイト で画像化

類題を集める(連続する自然数の和)

連続する2つ以上の自然数からなる数列$\{a_n\}$があり, 総和が$2008$であるという. $2008$を素因数分解せよ. 数列$\{a_n\}$の項数は奇数でないことを示せ. 数列$\{a_n\}$を求めよ. (昭和大学2008年) $m$を自然数, $n$を2以上の整数とする. $m$から始まる連続…

類題を集める(組合せと確率)

1つのサイコロを続けて3回投げて, 出た目を順に$a_1$, $a_2$, $a_3$とする. このとき$a_1\leqq a_2\leqq a_3$となる確率はア である. (早稲田大学2006年) 1から5までの数が1つずつ書かれたカードが, どの数も2枚ずつ, 合計10枚ある. この10枚のカードの中か…

類題を集める(順列)

$100$から$999$までの3桁の自然数について, 次の問いに答えよ. 3種類の数字が現れるものは何個あるか. $0$が現れないものは何個あるか. $0$または$1$が現れるものは何個あるか. (岩手大学2011年) 1000から9999までの4けたの自然数について, 次の問いに答えよ…

類題を集める(図形と確率)

1から6までの目をもつ立方体のサイコロを3回投げる. そして1, 2, 3回目に出た目をそれぞれ$a$, $b$, $c$とする. $a$, $b$, $c$を3辺の長さとする正三角形が作れる確率を求めよ. $a$, $b$, $c$を3辺の長さとする二等辺三角形が作れる確率を求めよ. $a$, $b$, …

類題を集める(その2)

1から6までの目が等しい確率で出るさいころを4回投げる試行を考える. 出る目の最小値が$1$である確率を求めよ. 出る目の最小値が$1$で, かつ最大値が$6$である確率を求めよ. (北海道大学2008年) $n$個のさいころを同時に投げて, 出た目の最小値を$X$, 最大値…

類題を集める

1個のサイコロを3回投げて, 出る目の数を順に$a$, $b$, $c$とする. $A=(a-2)(b-2)(c-2)$とおくとき, 以下の各問いに答えよ. $A=0$となる確率を求めよ. $A>0$となる確率を求めよ. $A>2$となる確率を求めよ. (福井大学2006年) 1つのサイコロを3回続けて投げる.…

少しずつカスタマイズ

www.no-overtime-day.com これが一番参考になった。 昨日、Amazonで注文した、Models and Ultraproducts が届いた。在宅だったのに、チャイムも押さず、ノックもせず、不在票をドアの新聞受けに入れて立ち去る日本郵便。全然馬鹿マジメじゃない。「すみませ~…

今日の数学(因数分解その2)

// 次の式を因数分解せよ. $(x-2)(x-1)(x+1)(x+2)+2$ (昭和女子大学2010年) $x(x+1)(x+2)(x+3)-15$ (広島文化学園大学2012年) $(x-1)(x-5)(x+3)(x+7)+231$ (東北福祉大学2007年) $(x-4)(x-2)(x+1)(x+3)+24$ (東北福祉大学2009年) $(x+1)(x+2)(x+8)(x+9)-144$…

今日の数学(因数分解)

// 次の式を因数分解せよ. $x^3+2yx^2-y^2x-2y^3$ (東京都市大学2015年) $x^3y+x^2y^2+x^3+x^2y-xy-y^2-x-y$ (岐阜女子大学2002年/京都女子大学2015年) $x^3y+x^3-x^2-xy^3-xy^2+y^2$ (昭和大学2011年)

MathJaxの練習(因数分解)

// 次の式を因数分解せよ. $2x^2+4x^2y+x+4xy+4xy^2+y+2y^2$(昭和女子大学2009年) $2x^2y+5xy+3y+4x^2+10x+6$(産業能率大学2015年) $2a^2+b^2+a^2b+ab^2-4a-b-6$(帝京大学2000年)

類題を集める

// // 愛知大学2009年 $\triangle\mathrm{ABC}$において$(\mathrm{CA}+\mathrm{AB}):(\mathrm{BC}+\mathrm{CA}):(\mathrm{AB}+\mathrm{BC})=5:5:6$である. $\sin A$を求めよ. $\triangle\mathrm{ABC}$の内接円と外接円の半径の比を求めよ. 昭和女子大学2000年…

類題を集めるー3次関数のグラフと3次方程式の整数解

武蔵工業大学2008年 3次方程式$x^3-9x-a=0$ ($a$は定数)について, 次の問に答えよ. この方程式が3つの異なる実数解をもつための$a$の条件を求めよ. (1)の条件を満たす$a$のうち, この方程式が少なくとも1つの整数解をもつようなものを決定せよ. 東京女子大学…

立体射影の問題 その2

// 少し前に金沢大学の数学の入試問題で立体射影の問題を見つけて、 umemura-wataru.hatenablog.com 類題ないかなあと思ってたところ、身近なところにあった。 座標空間内に, 原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の球面$S$と2点$\mathrm{A}(0, 0, 1)$, $\ma…

立体射影

// // $xyz$空間において, 原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の球面$S:x^2+y^2+z^2=1$, および$S$上の点$\mathrm{A}(0, 0, 1)$を考える. $S$上の$\mathrm{A}$と異なる点$\mathrm{P}(x_0, y_0, z_0)$に対して, 2点$\mathrm{A}$, $\mathrm{P}$を通る直線と$…

類題を集める その2

// // 定義域を$-1\leqq x\leqq1$とする関数$f(x)=x\sqrt{1-x^2}$について, 以下の設問に答えよ. \begin{enumerate} \item $y=f(x)$のグラフの概形を, $xy$平面上に図示せよ. \item $xy$平面上において, $y=f(x)$のグラフと$x$軸で囲まれた部分の面積を求め…