様相論理 is Fun

様相論理の学習ノートです

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様相論理

修正

その1 \[ M^{-}(F)=\bigcup_{FRU}U \] はultra filter $F$に対して成り立つ. その2 前回記事の主張は一般にはおそらく真でない. 有限の場合に自明に成り立つことが勘違いの原因だと思う. 反例を構成する予定.

BA+Ultrafilter RelationからBAO

出発点: \[ L^{-}(F)=\bigcup_{FRU}U \] \[M^{-}(F)=\bigcap_{FRU}U\] 空になる場合についてコメントが必要. ($Lp\rightarrow Mp$が恒真であるかのように勘違いする恐れがある) 対応$F\mapsto L^{-}(F)$についてであるが, $L^{-}$は$\cap$に関して分配的な…

Existence Lemma について(その2)

粗雑に述べる. 結局のところ, J\'onsson-Tarski Theorem である. また, 位相的含意がありそうだが, 勉強不足なので, よく勉強して, 後の機会に改めて書く. 記法は A New Introduction to Modal Logic 作者: M.J. Cresswell,G.E. Hughes 出版社/メーカー: Rou…

Existence Lemma について(その1)

正月に見た初夢. Existence Lemma は以下の BAO analog. ブール代数において, proper filter はこれを含む ultra filter 達の共通部分である。 証明: $F$を proper filter とする. $\bigcap_{F\subset U}U\subset F$ ($U$は$F$を含むultra filter 全体を動く…

基本のK

目的はモデルを作ること。最初の一歩。 証明は初歩的。練習問題にありそう。 Kから公理Kを除き(Nは変えない), 推論規則$\vdash\alpha\rightarrow\beta$ならば$\vdash M\alpha\rightarrow M\beta$ (DR3), および公理$M(\alpha\cup\beta)\rightarrow M\alpha\c…

理想論

$M$, $\mathrm{OB}$をそれぞれ「~は可能である」, 「~はされるべきである」を意味する様相作用素とする. 「$p$は望ましい」は「$Mp\rightarrow\mathrm{OB}p$」と表現される. 理想論は「(Mp\rightarrow\mathrm{OB}p)\rightarrow\mathrm{OB}p」が公理である…

BAOについて

$B$をBAOとする. $\{p\mid\Diamond p=\perp\}$は$B$におけるイデアルである. $\mathfrak{A}$を$B$におけるイデアルとし, $B$における同値関係$\sim_{\mathfrak{A}}$を次によって定義する. \[ p\sim_{\mathfrak{A}}q\ \text{iff}\ (p\cap\neg q)\cup(\neg p\c…

Complex Algebraで遊ぶ

$\mathfrak{F}=(W, R)$をフレームとし, $\mathfrak{F}$のComplex Algebraを$\mathfrak{F}^+$とする. $\mathfrak{F}^+$の極大フィルター$U$に対して, $V=\{X\mid m_R(X)\in U\}$は, 素なupward closed setである(つまり, $X\cup Y\in V$ならば$X\in V$または$…

KL=KL4の証明

Modal Logic (Cambridge Tracts in Theoretical Computer Science) 作者: Patrick Blackburn,Maarten de Rijke,Yde Venema 出版社/メーカー: Cambridge University Press 発売日: 2002/11/15 メディア: ペーパーバック クリック: 3回 この商品を含むブログ (…

Independent Equivalent Set の存在

A Mathematical Introduction to Logic: Herbert B.Enderton (English Edition) 作者: Herbert B.Enderton 発売日: 2018/03/10 メディア: Kindle版 この商品を含むブログを見る の演習問題の証明. Second Editionでは1.2節末の問10. 問題は: $\Sigma=\{\sigm…

反射的な人

身近な様相的概念。 使役同士のmakeとlet。Hughes&Cresswellの本の記号だとmakeがLで、letがM。 他に、多値であるが、「言われなくてもやる」と「言われたらやる」と「言われてもやらない」。 primitiveな記号を使って表すならば、「言われたらやる」は「Lp$…

フレームに基づかない様相論理の意味論について その4

umemura-wataru.hatenablog.com 様相リンデンバウム代数の極大フィルターが$V$で, $\{p\mid Mp\in V\}$が$U$. Blackburn, et. al. 'Modal Logic' にきっといろいろ書いてあるのだろうけれども, H&Cしかきちんと読んでいないのと, 最近は英語ばかりやっていて…

フレームに基づかない意味論について-その3

様相論理式全体の集合を$P_\infty$とする。すなわち、$P_\infty$は、命題変数達と、論理演算子$\neg$, $\vee$ (補助的に$\rightarrow$, $\wedge$), および様相演算子$L$ (補助的に $M$)によって生成される論理式全体からなる集合である 解釈とは、$P_\infty…

フレームに基づかない様相論理の意味論について その2

様相論理式全体の集合を$P_\infty$とする。すなわち、$P_\infty$は、命題変数達と、論理演算子$\neg$, $\vee$ (補助的に$\rightarrow$, $\wedge$), および様相演算子$L$ (補助的に $M$)によって生成される論理式全体からなる集合である 解釈とは、$P_\infty…

フレームに基づかない様相論理の意味論について

命題論理の意味論における解釈とは、真偽値関数、あるいは、リンデンバウム代数における極大フィルターを一つ定めることである。 同様の構成による様相論理の意味論を考える。 non-canonicityやincompletenessの解析に役立たなければ、意味はないが、とりあ…

様相論理の練習問題

数直線上における点$P$の移動を考える。時刻$t=0$において、$x=0$の位置に点$P$があるとし、$P$は1秒ごとにランダムに、$x$軸の正の向きに$1$または$2$進む. このとき、$t=1$のときに$P$が$x=1$の位置にあることは可能であり、$t=1$のときに$x=0$の位置に…

再出発:様相論理の体系Dに対応する様相代数の構成について

// 発端 真偽値の類似である「善悪値」を用いて義務論理の意味論を構成することを考える。 行為を表す論理式全体から、$\{0,1\}$への写像$v$を考え、$v(p)=0$であることを、行為$p$は悪である、と解釈し、$v(p)=1$であることを、行為$p$は悪でない、と解釈す…

A Next Step

前回記事と同じ記号を用いる。 umemura-wataru.hatenablog.com 前回記事の結果に加えて、新たに次の結果を付け加える。 *を、付値 f によって真偽が定まる様相演算子とする。ただし、f^~はブール束P^~から{0,1}への単調増加関数とする。このとき *(p⇒q)⇒(*p⇒…

A First Step

論理式全体からなる集合をPとし、Pをトートロジーであるという同値関係によって割った商をP^~とする。PからP^~への自然な全射をφで表す。 ブール束P^~からブール束{0,1}への写像はφによってPから{0,1}への写像に延長される。このように延長されたPから{0,1}…

トートロジーについて

付値を用いた様相論理の意味論を考える. 例えば、事象を表す論理式に対して、その事象が起こる確率を与える付値を考え、具体的には、事象を表す論理式pに対して、その値が1のとき□pが真、その値が0でないとき、♢pが真、と考えたり、あるいは、行為を表す論理…

アイデアのスケッチ

TODOリスト トートロジーの概念の整理 1で定めた意味において、K:□(p→q)→(□p→□q)がトートロジーになるような、付値の性質の特徴づけ 1.について 以前の記事では、トートロジー概念について混乱がある。 また、命題(論理式)全体をブール束と考えたけれども…

進捗管理

ナンセンスに終わる可能性もあるけれども、「付値論としての意味論」の構想について覚え書き ここでは、義務論理(Deontic Logic)のみを念頭に置く。 方針は次の通り。 行為を表す論理式(命題)に対して、真偽値のように、善悪のような値を考える。 ただし…

義務論理(Deontic Logic)のいくつかのパラドックスの解消 その2

義務論理(Deontic Logic)のいくつかのパラドックスを解消します。 その中でも、結合子「∨」、「∧」にまつわるパラドックスを解消します。 正確に言えば、SDL(Standard Deontic Logic)で不合理であるように思われてしまうトートロジーが、トートロジーでなく…

いろいろな付値と様相論理の意味論について

真偽値関数は命題全体がなすブール束から、ブール束{0,1}への準同型写像です。 真理値関数の類似の付値を考えて、意味論を展開します。 たとえば、必然□p(pは必然である)を、事象pが起こる確率が1、♢p(pは可能である)を、事象pが起こる確率は0でない、と解釈…

義務論理のパラドックスを解消する話

義務論理のパラドックスのうち、「Free Choice Permission Paradox」 Deontic Logic (Stanford Encyclopedia of Philosophy)と呼ばれるパラドックスについて考えます。その回避策を提示します。 パラドックスの生じる原因は、規範に関する言明における、オペ…

ベン図を使って様相論理の意味論を考える話 その3

2 つの命題変数 p, q を考え、真偽値関数に代わる付値を考える。 これは、行為を表す命題に対して 0 または 1の値を与える写像で、値1は善、値0は悪と解釈される。してもしなくてもよい行為の値を1と考えるので、正確に言えば、1は悪でないと解釈したほうが…

ベン図を使って様相論理の意味論を考える話 その2

様相論理の意味論を作るために、前回記事 umemura-wataru.hatenablog.com では、命題論理の真偽値を、ベン図に書き込んだけれども、ベン図を考えることは本質的ではないので、以降は、ベン図を想像するけれども、記述には持ち出さない。 われわれの目標は、…

ベン図を使って様相論理の意味論を考える話 その1

ベン図を使って意味論を考えます。 この記事では、最も卑近な例として、命題論理の場合を取り上げます。 後の記事では、様相論理(Dなど)の意味論が、同じくベン図を使って解釈できることを示す予定です。 正確に言えば、ベン図を考えることは本質的ではなく…

義務論理の意味論について(OB-Kの確認)その2

前回の続きで umemura-wataru.hatenablog.com 我々の意味論において、OB-K、つまり OB(p→q)→(OBp→OBq) がトートロジーであることを確かめよう。 左辺が真であるとする。このときJ(p∧¬q)=0である。 このとき以下の(i)~(iii)のいずれかが成り立つ。 (i) J(p)…

義務論理の意味論について(OB-Kの確認)その1

酔った勢いで久しぶりにアレなブログを更新する。 p, q, r, …を行為を表す命題変数とする。 真偽値関数をTで表す。 また、Jは、行為を表す論理式全体の集合から{0, 1}への関数で、次の性質を満たすものとする。 J(¬p)≧1-J(p) J(¬(¬p))=J(p) J(p∧q)≦min{J(…