様相論理 is Fun

様相論理の学習ノートです

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ああ何て素敵な日だ

HuaweiのMediaPad M5liteを買った。 ELECOMキーボードとBluetooth接続して使う。 感度がいいので、PCの代わりに使える。 古いPCは不用になる。 多分これで漫画をいっぱい読むことになると思う。 このガジェットのおかげで生活が変わりそう。 S4.4のLTAが構…

経過

S4.2のLTAを構成. 対応するframeは明日以降に探す. S5に対応するframeは2元だった. Tに対応するものが2元だから当然なのだろう. S4.4のLTAの構成は明日考える. 結局、S4からS5の間の系列といっても、命題変数が1個、かつ、2次で考えているので、間にS4.2とS4…

四の五の言う

S4の計算を終えて、少し肩の力が抜けた。 次は,S5に対応するframe探し。 2次のS5は、1次のTのLTAのultrafilter relationから定まるBAOに同型だろう. いずれにせよ、小さいので、すぐに見つかるはず. それから、当面の計画は、H&Cのカタログ見ながら、S4から…

一段落

やっと欲しいframeが構成できた。 このframeに対応するBAOは、S4(ただし, 命題変数1個, かつ2次以下)のLTAに同型になる. umemura-wataru.hatenablog.com $W=\{w_1, w_2, \ldots, w_6\}$で, 到達可能関係は, $R=\{(w_1,w_1), (w_2, w_2), \ldots, (w_6, w_6),…

低スぺを生きる

禁煙して約10日。 禁酒して2日。 禁煙はニコチンガムがあれば、ひとまずは余裕。 本命は禁酒。 ノンアル+眠剤に頼る。 不健全だけど、悪習を続けるよりはまし。 枯死した集中力(数学力といいたいところだけど、そんなものがはなからあれば苦労はない)を蘇生…

願望

S4のLTAと同型なBAOが対応するframe作りは未完成.可能世界は最低4個必要だが、4個では不十分な気がする. 明日5個の場合を計算する. 収穫はまだないけれども、2つのframeからそれぞれ作ったBAOの間に包含関係があるとき、必ずしもgenerated subframeになるよ…

semanticsというかcombinatorics

2次のS4のLTAに対応するframe作りに苦戦中。 非連結なframeなら簡単だろうが、連結なものを探している。 4個以上の世界からなる、反射的かつ推移的なframeを片っ端から試そうとしている。 不安なことには、完全に手探りであること。 とはいえ、先のことは、…

framework

$\mathcal{F}=(W, R)$をフレームとする. 命題論理のLTAを$L^0$と表し, 命題論理式$\phi$に対して, $\phi$が属する$L^0$における同値類を$[\phi]$と表す. $\mathcal{F}$のvaluation $V$は, 各世界$w\in W$に対して, $L^0$のultra filterを定める: $\{[\phi]\m…

リバースエンジニアリング

まだまとめていないけれども、frameから命題論理のLTAの拡大になっているBAOの構成($\phi$がvalidならその像が$=1$, satisfiableならばその像が$\neq0$になるようなやつ)の逆(ultrafilter frameよりも小さなやつ)がしたくて、模索中. とりあえず、1次の場合…

次の目標

frameからBAO(命題論理のLTAの拡大になる)の構成について、今度時間があるときにまとめる。 おそらく、frameから作られるクラスは、命題論理のLTAのultrafilterの置換(ここでは、全単射ではなく、ただの自身への写像の意)に関して不変であるように思われる。…

定式化 その2

前回の続き. umemura-wataru.hatenablog.com 以下において, 命題変数は有限個とする. $U_{ij}^\prime$をatomとするBAを$L^1$とすると, これは(1次以下の様相論理式全体から作られた)$K$のLTAと同型である. $L^1$のultrafilterとultrafilterの和集合のペア全…

経過

H&Cのカタログを見ながら、各正規様相論理(ただし、命題変数は有限個かつ次数制限あり)のLTAを,命題論理のLTAを拡大して構成している. T, D,T_c, D_c,Triv, Verの場合は構成済み.. S4は検証が必要. 2次以上の場合は、元の個数が指数関数…

雑記

LTAはKのLTAを、適当な意味でUSに関して閉じたfilterで割った商代数と同型だろう。 ただ、実用のために、代表元の取り方がわかると、助かる。

定式化 その1

$\varPhi^0$を命題論理式全体の集合とし, $\varPhi^1$を1次以下の様相論理式全体, $\varPhi^2$を2次以下の様相論理式全体, $\ldots$とし, $\varPhi^\infty$を様相論理式全体とする. $\varPhi^0$を"$\phi\rightarrow\psi$と$\psi\rightarrow\phi$が証明可能"…

足らぬ足らぬは・・・

証明はうまくいきそう。 定式化と併せて明日の休みに書く。 それから、LTAと同型になるための条件は、自己同型か自己準同型に関する不変性になりそう、というかなってくれたらいいな(願望)。 complex algebraとは同型でないことは、元の個数から容易に確か…

憶測

同型の証明は帰納法でやる。 フレームからalgebraの構成はできた。 complex algebraとは同型でないように思う。確かめる。 目標は、LTAの特徴付け。 それから、frameから構成したalgebraと同型になるLTAの特徴付け。 同型にならないやつが、incomplete(憶測…

宿題

BAを拡大してBAOを構成することは前回書いた。 その定義のもとで、問題は 任意の正規様相論理に対して、そのLTAが、命題論理のLTA (前回はblogで、様相LTAをLTA、命題論理のLTAをLAと呼び、用語を誤用していたので訂正する。)のある拡大と同型 が成り立つ…

見切り発車だけど

以前に粗雑に書いたものを修正。 $B$をBAとする。 ${U_i}$を$B$のすべてのultrafilterとする。 $V_{ij}$は空集合またはultra filterの和集合とする。添字$j$の範囲は空でなければ任意。 $\mathcal{P}({U_{ij}^prime}$ ($U_{ij}^prime=(U_i, V_{ij})$)には…

壊れかけのmind

いまだ正体がつかめず。 frameと関連付けられたので、望みは消え失せてないけれども、気力が消え失せてるw

経過 その5

KHのnon-canonicityを実感。 幻影かもしれないが。

経過 その4

今のところは、自明なことが確かめられただけ。 できることは、考え続けることと、実験をすること。 ここにとりあえず思考を整理して、更新はしばし小休止。 BAというかLindenbaum algebraのultrafilter全体の集合$\mathcal{U}$から、ultrafilter全体の集合…

経過 その3

ひとまず欲しい結果は得られた。 後は有益かどうか。 それが一番の問題。

経過 その2

$B_2$($4$元のBA)+3つの解釈から演算子付きの$B_3$($8$元のBA)の構成はいくつかできたけど、$B_2$から$B_4$($16$元のBA)の場合は、ややこしい。解釈がatomになるけれども、対応するwff表示がまだ不明。うまくいくのかな?

経過

有限BAで実験中。 BAからBAOの構成を考えている。 少し感触がある。 BAがcompleteかつatomicのとき、ultrafilter relationからBAOの構造が入って、様相演算子が吸収されてしまうので、様相解釈を拡張。真の拡大になるようにする。 とりあえず遊ぶ。帰納的に…

願望

幸いなことに仕事が楽しく、最近は、前向きな気持ちが湧くことが多い。感謝。 数学に打ち込む余裕はないが、無意識化で学習が進んでいて、以前に不明瞭だったことが、後知恵で、明瞭に認識できるようになった。ほんの少し成長。 canonicity関連で、ちょっと…

もっと頑張る

ちょっと弱ってる。 Correspondence Theoryを読もうと思って、読み始めて、”T+4+Mckinseyがvalid → 反射的+推移的+原始的”をチェックしようと思って、対偶?と思ったりしたけれども、結局、時間はともかく、精神的余裕がなくなって、呆けてしまって放置…

ちょっとした事実のちょっとした証明

$B$をBoolean Algebraとする. $P$を次の条件を満たすような空でない$B$の部分集合とする. $x\in P$かつ$x\leq y$ならば$y\in P$ $x\cup y\in P$ならば$x\in P$または$y\in P$ $0\not\in P$ (集合演算と同じ記号であるが, \veeを$\cup$で代用する.) このとき,…

春を待つ

正しい方向性はcompletion。熟慮がない。反省。それにBoolはBoole。 訂正しなきゃ、と思っているが、季節柄か気力が湧いてこない。 読むべき本は、文字通り目の前にあって、計画は脳裏にあるが、いつになったらちゃんと読むことができるかわからない。 気分…

principalization

"atomic"は, 任意の$x$に対して, $y\leq x$を満たすatom $y$が存在することを指し, これは任意のultra filterがprincipalであることの必要条件なので, 前回の umemura-wataru.hatenablog.com における言い回しを訂正する. $B$を任意のBool代数とする. $S(B)$…

atomicisation

$\mathbb{N}$の有限集合全体と余有限集合(補集合が有限)全体からなるBool代数を考える. $B$の ultra filter は, 1元集合で生成される principal filter であるか, または, non-principal である, 余有限集合全体である. 次のようなBool代数$B^\prime$を構成…