様相論理 is Fun

様相論理の学習ノートです

MENU

もっと頑張る

ちょっと弱ってる。 Correspondence Theoryを読もうと思って、読み始めて、”T+4+Mckinseyがvalid → 反射的+推移的+原始的”をチェックしようと思って、対偶?と思ったりしたけれども、結局、時間はともかく、精神的余裕がなくなって、呆けてしまって放置…

ちょっとした事実のちょっとした証明

$B$をBoolean Algebraとする. $P$を次の条件を満たすような空でない$B$の部分集合とする. $x\in P$かつ$x\leq y$ならば$y\in P$ $x\cup y\in P$ならば$x\in P$または$y\in P$ $0\not\in P$ (集合演算と同じ記号であるが, \veeを$\cup$で代用する.) このとき,…

春を待つ

正しい方向性はcompletion。熟慮がない。反省。それにBoolはBoole。 訂正しなきゃ、と思っているが、季節柄か気力が湧いてこない。 読むべき本は、文字通り目の前にあって、計画は脳裏にあるが、いつになったらちゃんと読むことができるかわからない。 気分…

principalization

"atomic"は, 任意の$x$に対して, $y\leq x$を満たすatom $y$が存在することを指し, これは任意のultra filterがprincipalであることの必要条件なので, 前回の umemura-wataru.hatenablog.com における言い回しを訂正する. $B$を任意のBool代数とする. $S(B)$…

atomicisation

$\mathbb{N}$の有限集合全体と余有限集合(補集合が有限)全体からなるBool代数を考える. $B$の ultra filter は, 1元集合で生成される principal filter であるか, または, non-principal である, 余有限集合全体である. 次のようなBool代数$B^\prime$を構成…

修正

その1 \[ M^{-}(F)=\bigcup_{FRU}U \] はultra filter $F$に対して成り立つ. その2 前回記事の主張は一般にはおそらく真でない. 有限の場合に自明に成り立つことが勘違いの原因だと思う. 反例を構成する予定.

BA+Ultrafilter RelationからBAO

出発点: \[ L^{-}(F)=\bigcup_{FRU}U \] \[M^{-}(F)=\bigcap_{FRU}U\] 空になる場合についてコメントが必要. ($Lp\rightarrow Mp$が恒真であるかのように勘違いする恐れがある) 対応$F\mapsto L^{-}(F)$についてであるが, $L^{-}$は$\cap$に関して分配的な…

Existence Lemma について(その2)

粗雑に述べる. 結局のところ, J\'onsson-Tarski Theorem である. また, 位相的含意がありそうだが, 勉強不足なので, よく勉強して, 後の機会に改めて書く. 記法は A New Introduction to Modal Logic 作者: M.J. Cresswell,G.E. Hughes 出版社/メーカー: Rou…

Existence Lemma について(その1)

正月に見た初夢. Existence Lemma は以下の BAO analog. ブール代数において, proper filter はこれを含む ultra filter 達の共通部分である。 証明: $F$を proper filter とする. $\bigcap_{F\subset U}U\subset F$ ($U$は$F$を含むultra filter 全体を動く…

基本のK

目的はモデルを作ること。最初の一歩。 証明は初歩的。練習問題にありそう。 Kから公理Kを除き(Nは変えない), 推論規則$\vdash\alpha\rightarrow\beta$ならば$\vdash M\alpha\rightarrow M\beta$ (DR3), および公理$M(\alpha\cup\beta)\rightarrow M\alpha\c…

理想論

$M$, $\mathrm{OB}$をそれぞれ「~は可能である」, 「~はされるべきである」を意味する様相作用素とする. 「$p$は望ましい」は「$Mp\rightarrow\mathrm{OB}p$」と表現される. 理想論は「(Mp\rightarrow\mathrm{OB}p)\rightarrow\mathrm{OB}p」が公理である…

BAOについて

$B$をBAOとする. $\{p\mid\Diamond p=\perp\}$は$B$におけるイデアルである. $\mathfrak{A}$を$B$におけるイデアルとし, $B$における同値関係$\sim_{\mathfrak{A}}$を次によって定義する. \[ p\sim_{\mathfrak{A}}q\ \text{iff}\ (p\cap\neg q)\cup(\neg p\c…

Complex Algebraで遊ぶ

$\mathfrak{F}=(W, R)$をフレームとし, $\mathfrak{F}$のComplex Algebraを$\mathfrak{F}^+$とする. $\mathfrak{F}^+$の極大フィルター$U$に対して, $V=\{X\mid m_R(X)\in U\}$は, 素なupward closed setである(つまり, $X\cup Y\in V$ならば$X\in V$または$…

きれいな字を書くための練習方法

小学校の頃に習字をきちんとやらなかったので(すべての漢字を一画で書く無駄な努力をしていた記憶がある)、大人になってから下手な字の矯正のために漢字ドリルを始めた。 五年以上継続しているが、いっこうに上達しない。 反省してみて、その理由をふと思…

KL=KL4の証明

Modal Logic (Cambridge Tracts in Theoretical Computer Science) 作者: Patrick Blackburn,Maarten de Rijke,Yde Venema 出版社/メーカー: Cambridge University Press 発売日: 2002/11/15 メディア: ペーパーバック クリック: 3回 この商品を含むブログ (…

Independent Equivalent Set の存在

A Mathematical Introduction to Logic: Herbert B.Enderton (English Edition) 作者: Herbert B.Enderton 発売日: 2018/03/10 メディア: Kindle版 この商品を含むブログを見る の演習問題の証明. Second Editionでは1.2節末の問10. 問題は: $\Sigma=\{\sigm…

集合的選択と社会的厚生

大学入試問題のデータベースというか、オープンなStudy AidをPHPで作ろう!と意気込んで(といっても意気込んだだけだが)、そのために、どんな判断基準で採否してるのかわからない前時代的な参考書(てめぇがデータの分析をしやがれ)と同じ轍は踏みたくないの…

式の意味から和の公式

6と異なる目が出るまで振り続ければ, 1から5の目はそれぞれ確率$\dfrac{1}{5}$で出る。 一方, 同じ規則の下で, 例えば, $1$の目が出る確率を, $1$回目に出る場合, $2$回目に出る場合, ...の互いに排反な事象に分けて求めれば \[ \dfrac{1}{6}+\left(\dfrac{1…

ExcelVBAで名前付き新規シートを作成する際、同名シートが存在する場合の処理

ボタンを押すと「NewSheet」という名前の新規シートが追加されるようなコマンドを作る。ただし、「NewSheet」という名前のシートがすでにあれば、「NewSheet(1)」という名前の新規シートを作成する。さらに「NewSheet(1)」という名前のシートがあれば、「New…

フィボナッチ数列と二項係数の和

$\{f_n\}$をフィボナッチ数列とする. \[ f_1=1、f_2=1, f_{n+2}=f_{n+1}+f_n \] また${}_n\mathrm{C}_r$を二項係数とする. このとき, 正の整数$n$に対して, 次の等式が成り立つ. \[ {}_n\mathrm{C}_0+{}_{n-1}\mathrm{C}_1+{}_{n-2}\mathrm{C}_2+\cdots+{}_{…

ヘロンの公式を使おう!

ヘロンの公式は三角形の面積を3辺の長さから求める公式. $\triangle\mathrm{ABC}$において, $\mathrm{BC}=a$, $\mathrm{CA}=b$, $\mathrm{AB}=c$, $s=\dfrac{a+b+c}{2}$とすると, その面積$S$は次の式で与えられる \[ S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \] つまり \…

類題を集める(トレミーの定理)

円に内接する四角形において、2組の対辺の長さの積の和が対角線の長さの積に等しいという定理。絶妙な補助線による証明が有名。フォーカスゴールドI+Aのコラムに詳しい。この証明を入試で問うたのが下の昭和女子大学の問題。 円に内接する四角形$\mathrm{ABC…

束縛と自由

最近思うこと。米澤穂信のミステリ「古典部」シリーズの第5弾「いまさら翼と言われても」を読んでいっそう思案する。第3弾「遠回りする雛」と同じく短編もの。主人公折木奉太郎の信条「やらなくていいことはやらない、...」の由来が明かされたり、同じ古典部…

反射的な人

身近な様相的概念。 使役同士のmakeとlet。Hughes&Cresswellの本の記号だとmakeがLで、letがM。 他に、多値であるが、「言われなくてもやる」と「言われたらやる」と「言われてもやらない」。 primitiveな記号を使って表すならば、「言われたらやる」は「Lp$…

悲しさと悲しみ

今日職場で教わったこと。形容詞に「ーさ」がついて名詞になる。「悲しさ」「うれしさ」などなど。自分は「ーみ」も同じようなものだと思っていたので、「悲しみ」と言えて「うれしみ」と言えないことが疑問だった。聞けば、「悲しみ」は「悲しむ」の連用形…

脱デフレマインド

酒の経済的効能。出先で、酒を飲んだ後、買い物に行ったら、自制心がなくなってあれも買ってまえこれも買ってまえってなって、本屋では、今月中に読みきれないほどの小説やら今年中にやりきれないほどの問題集やら何やらを買い込んだ。うんこ漢字ドリルは、…

ロイヤルさん

ロイヤルを読め。ロイヤルを読め。ロイヤルこそが我々すべての師だ。 ロイヤル英文法―徹底例解 作者: 綿貫陽,須貝猛敏,宮川幸久,高松尚弘 出版社/メーカー: 旺文社 発売日: 2000/11/11 メディア: 単行本 購入: 13人 クリック: 85回 この商品を含むブログ (62…

「生きる力」その2

米澤穂信「ふたりの距離の概算」から 計算が苦手なら電卓を使えばいい、英語が苦手なら翻訳ソフトを使えばいい、走りたくないなら適宜別の交通手段を検討すればいいと、俺には最初からわかっていた。これこそ生きる力というものではなかろうか。 頭の良さは…

「生きる力」

次期学習指導要領「生きる力」 新学習指導要領(本文、解説、資料等):文部科学省 「生きる力」とは何だろう?知恵と言い換えられるかもしれない。 米澤穂信の小説「ふたりの距離の概算」(「古典部」シリーズの第五弾。主人公は省エネ主義の高校生、折木奉…

生き字引になるつもり?

ユメサクの2周目があと半分. その上に, よくばり英作文を買ってしまって, 並行して進めている。 初めからよくばり英作文を買って, これだけをやっておけばよかったと思っている.その上に, 小倉弘「和文英訳教本」の青版. 飽和してる. 河合出版の「英作文のス…