読者です 読者をやめる 読者になる 読者になる

義務論理について考える

義務論理(Deontic logic)について考えてみます

いろいろな付値と様相論理の意味論について

真偽値関数は命題全体がなすブール束から、ブール束{0,1}への準同型写像です。

 

真理値関数の類似の付値を考えて、意味論を展開します。

 

たとえば、必然□p(pは必然である)を、事象pが起こる確率が1、♢p(pは可能である)を、事象pが起こる確率は0でない、と解釈できます。

 

定式化します。

 

確率を意味する付値Prを、:事象を表す命題全体から、閉区間[0, 1]への写像として定義します。Pr(p∨q)=Pr(p)+Pr(q)-Pr(p∧q)であり、Pr(p∧q)次第でPr(p∨q)の値が変わるから、Pr(p∨q)=PR(p)∨Pr(q)になるように、[0,1]上の演算∨を定められないので、[0,1]をブール束と考えないか、あるいは付値Prを準同型と考えないようにする必要があります。

 

付値Prの満たす性質は

1. 値域は[0,1] 

2. Pr(¬p)=1-Pr(¬)

3. Pr(p∨q)=Pr(p)+Pr(q)-Pr(p∧q)

4. Pr(p_1∨p_2∨・・・∨p_n)=1 (p_1,p_2,…,p_nはすべての命題変数)

 

次に、事象を表す各命題に対して、命題□p、♢pを考えます。

 

命題□p、♢pの真偽を、

 

□pが真⇔Pr(p)=1

♢pが真⇔Pr(p)>0

 

で定めます。

 

このとき、□(p⇒q)⇒(□p⇒□q)はトートロジーです。(上記の性質を満たす任意のPrに対して真)

 

証明 □(p⇒q)が真であるとする。□pが偽ならば、□p⇒□qが真であるから、与式は真である。

 

□pが真であるとする。このとき□pの真偽の定め方よりPr(p)=1

 

また、□(p⇒q)が真であるという仮定より、Pr(p⇒q)=1

 

p⇒q=¬p∨qだから、Pr(¬p∨q)=1

 

よって、Pr(¬p)+Pr(q)ーPr(¬p∧q)=1

 

仮定Pr(p)=1よりPr(¬p)=1-Pr(p)=0であるから、上式より

 

   Pr(q)=1+Pr(¬p∧q)≧1

 

したがって、Pr(q)=1。ゆえに□pは真であり、□p⇒□qは真であるから、与式は真である。

 

(証明終わり)

 

このように、付値を導入することで、特に付値の条件をいじることで、様相論理の意味論を考えることができることがわかりました。

 

大事なことは、いろいろな付値によって、いろいろな体系を考えられることです。

 

次回は、付値による義務論理の意味論を提示します。

義務論理のパラドックスを解消する話

義務論理のパラドックスのうち、「Free Choice Permission Paradox」

Deontic Logic (Stanford Encyclopedia of Philosophy)と呼ばれるパラドックスについて考えます。その回避策を提示します。

 

パラドックスの生じる原因は、規範に関する言明における、オペレーター「∨」の解釈に起因するように思われます。

 

上記例の他に、まず身近な例を挙げます。

 

SDLでは、PE(p∨q)⇔PEp∨PEqですが、一方において、p:新聞を読む(あるいは何らかのしてよい行為)、q:犯罪をする(あるいは何らかのしてはいけない行為)とすると、PEp∨PEq(pをしてよいかまたはq

をしてよい)は、その一方であるPEpが真であるから真であるとして、PE(p∨q)は新聞を読むかまたは犯罪をしてよいとなって、犯罪をすることを肯定しているような言明になってしまいます。

 

このパラドックスを消極的に解消するならば、PE(p∨q)の解釈を変更すれば済みます。つまり、自然言語のpまたはqしてよいという表現に相当する論理式を認めず、

PE(p∨q)は、PEp∨PEqと同様の意味内容を表していると考えれば、自明にパラドックスは解消される。

 

あるいは、積極的にパラドックスを解消したければ、PE(p∨q)⇔(PEp∨PEq)がトートロジーでないような意味論を考えればよい。

 

そのような意味論を提示したい。これは同時に、PE(s∨g)⇒(PEs∧PEg)が成り立ち、一方において、SDLにおいてこれを仮定したときに生じる不合理が起こらないような意味論にもなる。

 

詳細は後日に譲るけれども、その意味論の構成の大筋を述べる。

 

真理値関数は、命題全体のなすブール束から、ブール束{0,1}への準同型写像である。つまり順序および演算∨、∧、¬を保存する。

 

これらの条件を弱めて、論理値0, 1が善悪の概念に呼応する振る舞いをするようにしようというのが方針である。

 

検算はしているけれども、束論の勉強の進捗が遅いので、しばらく時間をおいてから

具体論を展開します。

 

ベン図を使って様相論理の意味論を考える話 その3

2 つの命題変数 p, q を考え、真偽値関数に代わる付値を考える。

 

これは、行為を表す命題に対して 0 または 1の値を与える写像で、値1は善、値0は悪と解釈される。してもしなくてもよい行為の値を1と考えるので、正確に言えば、1は悪でないと解釈したほうがよい。この付値を J と表す。

 

この付値は、真偽値関数と同じように、J(p∨q)=max{J(p), J(q)}をみたすけれども、真偽値関数の場合と異なり、p∧q、p∧¬q、p∧¬q、¬p∧¬qのうちの1つ以上の値が1であってもよいとする。

 

真偽値関数の場合には、命題変数 p, q の値から、これらから作られる命題の真偽値が定まるけれども、ここで考える付値は p∧q、p∧¬q、p∧¬q、¬p∧¬q (ブール束の原子)の値から定まると考える。

 

ベン図を使って例を考える。

f:id:umemura_wataru:20170514185209p:plain

例えば、J(p∧¬q)=J(¬p∧q)=J(¬p∧¬q)=1、J(p∧q)=0 である場合を考える。

 

このとき、J(p)=J*1=1、同様に J(q)=1 である。

 

図を使って考えれば、4 つの連結成分p∧q、p∧¬q、p∧¬q、¬p∧¬q のいくつかの和集合に対応する命題は、これらの 値の最大値になる、と理解できる。

 

この例においては、p, q が、p : 飲酒をする、q : 車の運転をする、であるような場合が想定されている。

 

上の例も含めて、全部で 2^4-1=15 (すべて 0 である場合は除く) 通りの値の定め方が可能であるが、いずれも、行為の善悪に関わる命題と対応付けることが可能である。

 

次回は、この付値をもとに、様相論理の命題の真偽値を考えて、様相論理の意味論をつくる。

*1:p∧¬q)∨(p∧q

ベン図を使って様相論理の意味論を考える話 その2

様相論理の意味論を作るために、前回記事

 

umemura-wataru.hatenablog.com

 では、命題論理の真偽値を、ベン図に書き込んだけれども、ベン図を考えることは本質的ではないので、以降は、ベン図を想像するけれども、記述には持ち出さない。

 

われわれの目標は、命題変数達に対して、真偽値関数のような付値(2値または多値)で、∨、∧、¬に対して適当な性質をみたし、様相論理の意味論に供するようなものを見出すことである。

 

これからの説明では、簡単な記述のために、2つの命題変数p、qだけを考える。

 

真偽値関数が満たす性質としては、前回記事でも確認したように、

  1. p∧q、p∧¬q、p∧¬q、¬p∧¬qのうち一つが1、それ以外は0
  2. p∨qの値はp、qの値の最大値
  3. 2値
があげられる。これらをいじってみよう。
 
まず、条件1. をいじることで、様相論理の体系Dの意味論が得られることを示そう。
 
やってみる
条件1. を緩めて、4つの命題のうちの複数が1であってもよいとします。
 
後々これを義務論理に応用することが想定されています。
 
詳しく言えば、次のような応用を考えています。
 
命題変数が行為を表す場合に、これらに1(善)、0(悪)という値を与えます。善悪を真偽に模すことは自然なように思われますが、実際の行為はしてもしなくてもよい行為が大半なので、1という値は「悪でない」と解釈したほうがよさそうです。
 
また、細かく述べれば、善行pと悪行qに対して、「p∨qの善悪はどうなるのか?」という疑問が生じ、「不定」のような値を考えて、多値を導入したほうがよいと思う人もいるかもしれませんが、さしあたっては、自然言語が念頭においている論理(言い換えれば、脳にプリインストールされている論理)を完全に再現するという究極の目標よりは、実用のために、付置の導入によってDあるいはSDLに相当する意味論を作ることを目標にします。
 
ただし、後々においては、義務論理の「パラドックス」を回避するために、便宜的においている仮定を見直したり、多値の導入について論じます。
 
さて、本題に戻って、なぜ義務論理において、1(悪でない)、0(悪)のような論理値を考えたとき、p∧q、p∧¬q、¬p∧q、¬p∧¬qのうちの複数が1である可能性を考慮する余地があるのかについてですが、それは、次のような例があるからです。
 
p:「車の運転をする」、q:「飲酒をする」を考えると、p∧¬q(飲酒せず、運転)も¬p∧q(運転せず飲酒)もやっていい行為なので値は1です。
 
このような理由で、排反な複数の命題(毎回「p∧q、p∧¬q、¬p∧q、¬p∧¬q」と書くのが煩わしいので、以後このように言及する)のうちの複数の値が1である可能性を考慮する必要があります。
 
また、この例では、p、qの値が1ですが、p∧qは(飲酒運転をする)で、当然やってはいけない行為なので値は0になります。
 
このような事態が生じることはこの付値の特徴です。
 
以上から、排反な複数の命題のうちの複数の値が1である可能性を許すことで、善悪と解釈できるような付値による意味論が作れそうな気がします。
 
実際に、これは、様相論理の体系Dに相当するのですが、疲れたので説明は次回にします。

ベン図を使って様相論理の意味論を考える話 その1

ベン図を使って意味論を考えます。

 

この記事では、最も卑近な例として、命題論理の場合を取り上げます。

 

後の記事では、様相論理(Dなど)の意味論が、同じくベン図を使って解釈できることを示す予定です。

 

正確に言えば、ベン図を考えることは本質的ではなく、結合子∧、∨、¬に対して満たす性質をいじって、真偽値と異なるけれども似たような一種の論理値を考えたいのですが、どうせ酔狂、言葉使いにはあまり注意を払いません。

 

簡単のために、2つの命題変数p,qだけを考えます。

 

p,qをあたかも集合のように考えて、ベン図を描きます。

 

4つの命題 p∧q、¬p∧q、p∧¬q、¬p∧¬qは図において連結成分になっています。

 

そして、p∧q、¬p∧q、p∧¬q、¬p∧¬qの真偽値を、対応する連結成分に書き込みます。

 

例えば、pが1(真)で、qが0(偽)である場合は次のように表されます。

 

f:id:umemura_wataru:20170506221157p:plain

 

p,qと結合子∧、∨、¬を組み合わせて作られる命題は、4つの命題 p∧q、¬p∧q、p∧¬q、¬p∧¬qのいくつかの選言で表されるので、ベン図においては、4つの連結成分のいくつかの和集合になり、全部で2^4=16個あります。

 

これら16個命題から{0,1}への写像は2^16通りあります。その中で、真偽値関数はどんな特徴があるか、また、真偽値関数と似ているけど少し異なるような関数を考える余地がないかどうか考えてみましょう。このようにして、様相論理の意味論を考えてみましょう。

 

命題論理の真偽値をベン図で表現したとき、次のことが成り立ちます。

 

  1. ただ一つの連結成分が1、それ以外は0
  2. 連結成分の和集合で表される命題の真偽値は、それらの連結成分の真偽値の最大値
どちらも当たり前のことですが、当たり前を見直して、これらの条件を緩めることを考えてみましょう.
 
続きは次回。

英文解釈または構文解釈

和訳というか構文解釈の市販教材で

 

 桐原のやつ

入門英文解釈の技術70 (大学受験スーパーゼミ徹底攻略)

入門英文解釈の技術70 (大学受験スーパーゼミ徹底攻略)

 
基礎英文解釈の技術100 (大学受験スーパーゼミ徹底攻略)

基礎英文解釈の技術100 (大学受験スーパーゼミ徹底攻略)

 
英文解釈の技術100 (大学受験スーパーゼミ徹底攻略)

英文解釈の技術100 (大学受験スーパーゼミ徹底攻略)

 

にするか、Z会のやつ

 

合格へ導く英語長文Rise 構文解釈1.基礎~難関編(高2~難関国公立・難関私立レベル)

合格へ導く英語長文Rise 構文解釈1.基礎~難関編(高2~難関国公立・難関私立レベル)

 
合格へ導く英語長文Rise 構文解釈2.難関~最難関編(難関国公立・難関私立~東大・京大レベル)

合格へ導く英語長文Rise 構文解釈2.難関~最難関編(難関国公立・難関私立~東大・京大レベル)

 

にするかで迷って結局Z会のやつ(両方)にする。大学受験関係ないので、いずれ前者もやろうかな。

 

問題集の評価関数ってないのかな?

 

一方が他方に対して、優位な場合もあれば(優の方が劣の方を兼ねる場合)、複数がパレート最適であることもあるだろう。

 

決着つけたいな。

 

どっちがいいかりんなに尋ねたら、「›ω‹ )੭ु⁾⁾♡ 」だって。

 

なるほどそういうことか 

義務論理の意味論について(OB-Kの確認)その2

前回の続きで

 

umemura-wataru.hatenablog.com

 我々の意味論において、OB-K、つまり

   OB(p→q)→(OBp→OBq)

トートロジーであることを確かめよう。

 

左辺が真であるとする。このときJ(p∧¬q)=0である。

 

このとき以下の(i)~(iii)のいずれかが成り立つ。

(i) J(p)=0のとき

   J(¬p)=1となるから、T(OBp)=1-J(¬p)=0

 

つまりOBpが偽なので、与式の右辺OB(p)→OBqは真である。

 

(ii) J(¬q)=0のとき

   T(OB(q))=1-J(¬q)=1

 

つまりOBqが真なので、与式の右辺は真である。

 

(iii) J(p)=J(¬q)=1のとき

   仮定よりJ(p∧¬q)=0であるから、

 

umemura-wataru.hatenablog.com

 で確かめたことから、J(¬p)=1かつJ(¬¬q)=J(q)=1である。

 

特にJ(¬p)=1であることから、(i)と同様に与式の右辺は真である。

 

以上により、与式は常に真である。