様相論理 is Fun

様相論理の学習ノートです

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ExcelVBAで名前付き新規シートを作成する際、同名シートが存在する場合の処理

ボタンを押すと「NewSheet」という名前の新規シートが追加されるようなコマンドを作る。ただし、「NewSheet」という名前のシートがすでにあれば、「NewSheet(1)」という名前の新規シートを作成する。さらに「NewSheet(1)」という名前のシートがあれば、「NewSheet(2)」という名前の新規シートを作成する。以下同様、という処理をする。

 

そのためには、Worksheets.Countで存在するシート数を数えて、その個数をnとすれば、「Newsheet(1), Newsheet(2), ..., Newsheet(n+1)」の中のどれかは、既存のシート名と重ならないので、それを新規シート名にすればよい。

 

Sub CommandButton1_Click()

Dim ws As Worksheet flag1 As Boolean, flag2 As Boolean

Dim i As Integer

 

For Each ws In Worksheets
If ws.Name = "NewSheet" Then flag1 = True
Next ws

If flag1 = True Then '「Newsheet」がないとき

      For i = 1 To Worksheets.Count + 1
     

            For Each ws In Worksheets
                  If ws.Name = "Newsheet(" & CStr(i) & ")" Then 'CStr(i)は変数iを文字化する関数. 
                        flag2 = True '「NewSheets(i)」が存在すれば、変数にTrue値を格納
                  End If
            Next ws


            If flag11 = False Then
            Sheets.Add(After:=Worksheets(Worksheets.Count)).Name = "NewSheet(" & CStr(i) & ")" '「Newsheet(i)」が存在しなければ作成する
            Exit For 'シートを作成したら、Forの処理から抜ける
            End If


            flag2 = False' 次の「Newsheet(i+1)」が存在するかどうかの処理でflag2を再度使うために、値をFalseに戻す
      Next i

 

Else 'Newsheetがあるとき
      Sheets.Add(After:=Worksheets(Worksheets.Count)).Name = "NewSheet"
End If
End Sub

フィボナッチ数列と二項係数の和

$\{f_n\}$をフィボナッチ数列とする. \[ f_1=1、f_2=1, f_{n+2}=f_{n+1}+f_n \] また${}_n\mathrm{C}_r$を二項係数とする. このとき, 正の整数$n$に対して, 次の等式が成り立つ. \[ {}_n\mathrm{C}_0+{}_{n-1}\mathrm{C}_1+{}_{n-2}\mathrm{C}_2+\cdots+{}_{\Bigl\lceil\dfrac{n}{2}\Bigr\rceil}\mathrm{C}_{\Bigl\lfloor\dfrac{n}{2}\Bigr\rfloor}=f_{n+1}\]

ここで, $\lceil x\rceil$は, $x$以上の最小の整数, $\lfloor x\rfloor$は$x$以下の最大の整数である.

例えば \[\begin{split}&{}_1\mathrm{C}_0=1=f_2\\&{}_2\mathrm{C}_0+{}_1\mathrm{C}_1=1+1=2=f_3\\&{}_3\mathrm{C}_0+{}_2\mathrm{C}_1=1+2=3=f_4\end{split}\]

証明:左辺の和を$S_n$とおく. $S_1=f_2$, $S_2=f_3$であることはすでに確かめた.$\{S_n\}$が$\{f_n\}$と同じ式, つまり$S_{n+2}=S_{n+1}+S_n$をみたすせば, 帰納的に, すべての$n$に対して$S_n$と$f_{n+1}$は一致する. $S_{n+2}=S_{n+1}+S_n$が成り立つことを確かめるためには, パスカルの三角形を見ればよい.(終)
等式の意味は次のように解釈できる. 赤玉と白玉からなる$n$個の順列で, 赤玉が$2$個以上連続しないようなものの総数を考える. $n-k$個の白玉を先に並べて, それらの隙間または両端に$k$個の赤玉を並べるとすると, 赤玉の入れ方は${}_{n-k}\mathrm{C}_k$通り. 求める順列の総数は, $k=0, 1, 2, \cdots$に対する${}_{n-k}\mathrm{C}_k$の和, すなわち$S_n$である. 一方, このような$n$個の玉の順列は, $n-1$個の場合のそのような順列の右端に黒玉を並べたものと, $n-2$個の場合のそのような順列の右端に黒玉と白玉を順に並べたものからなる. すなわち, $f_n=f_{n-1}+f_{n-2}$の形の漸化式を満たす.

ヘロンの公式を使おう!

ヘロンの公式は三角形の面積を3辺の長さから求める公式.

$\triangle\mathrm{ABC}$において, $\mathrm{BC}=a$, $\mathrm{CA}=b$, $\mathrm{AB}=c$, $s=\dfrac{a+b+c}{2}$とすると, その面積$S$は次の式で与えられる

\[ S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \]

つまり \[ S=\sqrt{\dfrac{a+b+c}{2}\cdot\dfrac{b+c-a}{2}\cdot\dfrac{c+a-b}{2}\cdot\dfrac{a+b-c}{2}}\]

これを使って遊ぼう. $\triangle\mathrm{ABC}$の内接円の半径を$r$とすると$S=\dfrac{a+b+c}{2}r$であり, 同様の式が傍接円の半径に対しても成り立つ. つまり, 辺$\mathrm{BC}$に接する傍接円の半径を$r_a$とすると$S=\dfrac{b+c-a}{2}r_a$. 同様に, $S=\dfrac{c+a-b}{2}r_b$, $S=\dfrac{a+b-c}{2}r_c$ これらをヘロンの公式に代入して整理すると \[S=\sqrt{rr_ar_br_c}\tag{1}\] ここで, \[ \dfrac{2S}{r}=a+b+c\] \[ \dfrac{2S}{r_a}=b+c-a\tag{2} \] \[ \dfrac{2S}{r_b}=c+a-b\tag{3} \] \[ \dfrac{2S}{r_c}=a+b-c\tag{4} \] だから, $(2)+(3)+(4)$より \[ 2S\left(\dfrac{1}{r_a}+\dfrac{1}{r_b}+\dfrac{1}{r_c}\right)=a+b+c=\dfrac{2S}{r} \] よって \[ \dfrac{1}{r}=\dfrac{1}{r_a}+\dfrac{1}{r_b}+\dfrac{1}{r_c} \] この式を$r$について解いて \[ r=\dfrac{r_ar_br_c}{r_ar_b+r_br_c+r_cr_a} \] これを(1)に代入して \[ S=\dfrac{r_ar_br_c}{\sqrt{r_ar_b+r_br_c+r_cr_a}}\]

また$(3)+(4)$より \[2S\left(\dfrac{1}{r_b}+\dfrac{1}{r_c}\right)=2a\]

よって \[ a=S\left(\dfrac{1}{r_b}+\dfrac{1}{r_c}\right)=\dfrac{r_a(r_b+r_c)}{\sqrt{r_ar_br_c}} \] 同様に \[ b=\dfrac{r_b(r_c+r_a)}{\sqrt{r_ar_br_c}}, c=\dfrac{r_c(r_a+r_b)}{\sqrt{r_ar_b+r_br_c+r_cr_a}} \] これらより, 任意の大きさの3つの円が傍接円になるような, 三角形$\mathrm{ABC}$が存在することが証明される.

 

$r_a=1$, $r_b=2$, $r_c=3$の場合を作図すると下のようになる. (KETpicで作図して, .texファイルのソースををTeX2imgでjpeg化)

f:id:umemura_wataru:20180606195246j:plain

 

類題を集める(トレミーの定理)

円に内接する四角形において、2組の対辺の長さの積の和が対角線の長さの積に等しいという定理。絶妙な補助線による証明が有名。フォーカスゴールドI+Aのコラムに詳しい。この証明を入試で問うたのが下の昭和女子大学の問題。

円に内接する四角形$\mathrm{ABCD}$がある. このとき線分に関して$\mathrm{AB}\cdot\mathrm{CD}+\mathrm{AD}\cdot\mathrm{BC}=\mathrm{AC}\cdot\mathrm{BD}$が成り立つ(トレミーの定理).
  1. 対角線$\mathrm{BD}$上に$\angle\mathrm{BAE}=\angle\mathrm{CAD}$となる点$\mathrm{E}$をとる. このとき$\triangle\mathrm{ABE}\sim\triangle\mathrm{ACD}$となることを証明せよ.($\sim$は原文では$S$を$-90^\circ$回転させた通常の相似記号)
  2. $\triangle\mathrm{ABC}\sim\triangle\mathrm{AED}$となることを証明せよ.
  3. (1), (2)を用いて, トレミーの定理を証明せよ.

計算問題に焼き直したのが下の問題.

四角形$\mathrm{ABCD}$において \[ \mathrm{AB}=a, \mathrm{BC}=b, \mathrm{CD}=c, \mathrm{DA}=d, \mathrm{AC}=x, \mathrm{BD}=y \] とする. 以下の問いに答えよ.
  1. $\cos A$, $\cos B$, $\cos C$, $\cos D$を$a$, $b$, $c$, $d$, $x$, $y$を用いて表せ.
  2. 四角形$\mathrm{ABCD}$が円に内接するとき, \[ xy=ac+bd \] が成り立つことを示せ.
(熊本大学2011年)

詳しくはないが、トレミーの定理を利用する問題というものもあるようである.

点$A$を通る直線は, 2点$\mathrm{B}$と$\mathrm{C}$を通っていて, $mathrm{B}$は$\mathrm{A}$と$mathrm{C}$の間にある. $\mathrm{A}$から2本の接線は2点$\mathrm{S}$と$\mathrm{T}$でこの円に接する.2直線$\mathrm{ST}$と$\mathrm{AC}$は点$\mathrm{P}$において交わる. \[ \dfrac{\mathrm{AP}}{\mathrm{PC}}=2\cdot\dfrac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BC}} \] であることを証明せよ.
(Nordic Mathematical Contest2007年)

束縛と自由

最近思うこと。

米澤穂信のミステリ「古典部」シリーズの第5弾「いまさら翼と言われても」を読んでいっそう思案する。第3弾「遠回りする雛」と同じく短編もの。主人公折木奉太郎の信条「やらなくていいことはやらない、...」の由来が明かされたり、同じ古典部員の千反田えるが将来に悩んだり、主要人物の内面が深掘りされる。

文章も好きだが、タイトルも好き。「クドリャフカノの順番」、「ふたりの距離の概算」、「いまさら翼と言われても」。

次回作のタイトルが...気になります。

英検まで1か月を切って自由英作文の対策をはじめて、いままでやってきた勉強、あるいは「勉強」、がいかにクソみたいなものだったかを痛感する。

初学者のころは、単純タスクの繰り返しだけで、繰り返した分だけ進歩した気になったが、上達するにつれて、自由度の高い創造的努力が必要になり、量より質が問われるようになって、それが悩みの種である。「いまさら翼と言われても」(適当)

反射的な人

身近な様相的概念。

 

使役同士のmakeとlet。Hughes&Cresswellの本の記号だとmakeがLで、letがM。

 

他に、多値であるが、「言われなくてもやる」と「言われたらやる」と「言われてもやらない」。

 

primitiveな記号を使って表すならば、「言われたらやる」は「Lp$\R

ightarrow$p」。言われたらやる人は反射的。

悲しさと悲しみ

今日職場で教わったこと。

形容詞に「ーさ」がついて名詞になる。「悲しさ」「うれしさ」などなど。自分は「ーみ」も同じようなものだと思っていたので、「悲しみ」と言えて「うれしみ」と言えないことが疑問だった。

聞けば、「悲しみ」は「悲しむ」の連用形だそうだ。(味の意味の場合もある。)

謎が解けたうれしさと、帰納的に気づけなかった悲しみを感じた1日だった。

「~しむ」と言える語と、「~しむ」と言えない語は違いまで聞けばよかった。今度聞こう。

脱デフレマインド

酒の経済的効能。

出先で、酒を飲んだ後、買い物に行ったら、自制心がなくなってあれも買ってまえこれも買ってまえってなって、本屋では、今月中に読みきれないほどの小説やら今年中にやりきれないほどの問題集やら何やらを買い込んだ。うんこ漢字ドリルは、我に返って、棚に戻したが・・・

電器屋では買おうかどうか迷っていたスマホ用にキーボードを買った。エレコムのやつ。日本語入力クッソ快適。ああContinuum・・・

機能性の悪そうな服もしらふならきっと買っていなかっただろう。

デフレ脱却の鍵は案外こういうところにあるかもしれない。某メンバーの報道の後で、不謹慎かもしれないが。

ロイヤルさん

ロイヤルを読め。ロイヤルを読め。ロイヤルこそが我々すべての師だ。

ロイヤル英文法―徹底例解

ロイヤル英文法―徹底例解

 

 さわやかメンソール色の装丁。800ページを超す大著。徹底例解の文句に偽りはない。

 

デュアルスコープだかディアゴスティーニだか、そんな軟派なものを読まずにロイヤルを読もう(適当)。

 

1年ほど前に、名駅近鉄パッセの星野書店で買ったことが懐かしい。その時から、何冊かの単語帳と、何冊かの英作文の問題集を、それぞれ何周かしたけれども、ロイヤルは終わりの見えない道のりだった。1ページ目から読み始める愚かさを、残すところ10数ページの今、後悔しない。

 

 

ロイヤルの他に、愛着のある本は、Z会出版の「英作文のトレーニング実践編」。またの機会に称えよう。この本を使いこなせるハイスペック高校生にお目にかかりたい。どんな性能してんだよ。

「生きる力」その2

米澤穂信ふたりの距離の概算」から

計算が苦手なら電卓を使えばいい、英語が苦手なら翻訳ソフトを使えばいい、走りたくないなら適宜別の交通手段を検討すればいいと、俺には最初からわかっていた。これこそ生きる力というものではなかろうか。

 

頭の良さは生まれつきのものだが、足りない能力を補う知恵は身に付けられるものだ。

 

苦手とか嫌いとか言い訳をこねるより、苦手でも嫌いでもできる工夫を考える方が身のためだ。

 

今日は小説をタイトル買いした。小説は安い。一冊で二晩三晩は楽しめる。ストロングゼロ文学よりも高尚だと思う。

「生きる力」

次期学習指導要領「生きる力」

 

新学習指導要領(本文、解説、資料等):文部科学省

 

「生きる力」とは何だろう?知恵と言い換えられるかもしれない。

 

米澤穂信の小説「ふたりの距離の概算」(「古典部」シリーズの第五弾。主人公は省エネ主義の高校生、折木奉太郎。モットーは「やらなくてもいいことなら、やらない。やらなければならないことなら手短に」。所属する古典部の周辺で起こる「事件」に不本意に巻き込まれ、推理の才能を発揮する。 ) に次のような言葉があった。

計算が苦手なら電卓を使えばいい、英語が苦手なら翻訳ソフトを使えばいい、走りたくないなら、適宜別の交通手段を検討すればいいと、俺には最初からわかっていた。これこそ生きる力というものではなかろうか。いや、今日はいい勉強をした。

 

気に入ったから付箋を貼った。以前に、池井戸潤の「空飛ぶタイヤ」を読んでいて印象に残った言い回しがあって、読み終えてしばらく後に探したけれども、本当に「空飛ぶタイヤ」の中の文章だったかなあ?他の小説じゃね?ってなって、いまだに見つからない。だから付箋を貼るようになった。Google Keepを使うようになったから、今度からは、写メろうか。

 

第四弾の「遠回りする雛」の中の「無為を望む者に無為が与えられている幸せをじっと嚙み締めて時を過ごしていた。」、ありふれた言い回しかもしれないけれども「詩的にいえば運命のいたずらであり散文的にいえば事の成り行きの結果だ。」も好き。同じ出典の「暑さがじっとりと染みとおり、湯上りの体はたちまち汗ばむ。坂の上に人影。近づく俺たちに向けて、梨絵が坂の上から力いっぱいに手を振っていた。」

 

「其人は東へ、此人は南へ、大路の柳月のかげに靡いて力なさそうの塗り下駄のおと、村田の二階も原田の奥も憂きはお互いの世におもふ事多し。」的な体言止めを挟む文章の締め方をかっこいいと思う。英語の勉強をすると一層日本語に興味が沸く。もっと渉猟しよう。

 

さきほどの引用に戻ろうと思っったが時計を見れば、もう寝る時間。そろそろ床に就こう。

生き字引になるつもり?

ユメサクの2周目があと半分. その上に, よくばり英作文を買ってしまって, 並行して進めている。 初めからよくばり英作文を買って, これだけをやっておけばよかったと思っている.その上に, 小倉弘「和文英訳教本」の青版. 飽和してる.

 

河合出版の「英作文のストラテジー」の演習編を終えた後に, 難度の高いものに手を出そうと思って, Z会出版の「英作文のトレーニング 実践編」を始めて, いまのところ半分を終えた.

 

毎日, これらをほぼ日課としてこなす. 正しく練習できているかどうかはよくわからない. インプットが中心になってしまっているし, 勉強自体が目的化していることもよくない. 変える.

 

ロイヤル英作文は, あと70ページ位. 1年以内に読み終えることになりそう. さっさと終わらせて, 次の勉強に移りたい.

 

単語帳を使った丸暗記に飽きた. 初期の学習段階でのその役割はそろそろ終わったように思って, 辞書を読むことにした. Collins, COBUILD Primary' Learner's Dictionary

 

Collins COBUILD Intermediate Learner's Dictionary

Collins COBUILD Intermediate Learner's Dictionary

 

 

を買った. 難単語の暗記より基本単語を使いこなせるようにしたい. 約500ページ位. 収録語数は1万数千程度. これに載ってる単語を全部使いこなせるようにしたい.読み終えてもいないのに, 読み終えたとき用に

 

Longman WordWise Dictionary (2E) Paperback with CD-ROM (Longman Dictonaries)

Longman WordWise Dictionary (2E) Paperback with CD-ROM (Longman Dictonaries)

 

 を買った.買っただけで満足マンにならないように, 使い始めている. 約800ページ, 収録語数は約4万. 読み通すならば, これくらいが限度だと思う.

 

調べるように

 

Longman Active Study Dictionary (5E)  Paperback (Longman Dictonaries)

Longman Active Study Dictionary (5E) Paperback (Longman Dictonaries)

 

を買った.

 

他に2冊の辞書を買い, 2冊の辞書を予約注文した. 我に返ると馬鹿馬鹿しくなる.

フレームに基づかない様相論理の意味論について その4

 

umemura-wataru.hatenablog.com

 

様相リンデンバウム代数の極大フィルターが$V$で, $\{p\mid Mp\in V\}$が$U$. Blackburn, et. al. 'Modal Logic' にきっといろいろ書いてあるのだろうけれども, H&Cしかきちんと読んでいないのと, 最近は英語ばかりやっていて, 数学の勉強自体が停滞気味. どうしよう?

フレームに基づかない意味論について-その3

様相論理式全体の集合を$P_\infty$とする。すなわち、$P_\infty$は、命題変数達と、論理演算子$\neg$, $\vee$ (補助的に$\rightarrow$, $\wedge$), および様相演算子$L$ (補助的に $M$)によって生成される論理式全体からなる集合である

 

解釈とは、$P_\infty$の部分集合の組$(V, U)$で、次の性質を満たすもののこととする。

 

  1. $V$は真偽値関数と同様に振る舞う。つまり、$\neg p\in V$ $\Leftrightarrow$ $p\not\in V$であり、$p\vee q\in V$ $\Leftrightarrow$ ($p\in V$または$q\in V$)
  2. $p\vee q\in U$ならば$p\in U$または$q\in U$
  3. $p\in U$, $p\rightarrow q\in V$ならば$q\in U$
  4. $p\not\in U$ならば$\neg p\in U$
  5. $Mp\in V$ $\Leftrightarrow$ $p\in U$
  6. $Lp\in V$ $\Leftrightarrow\neg p\not\in U$

 

 その2

umemura-wataru.hatenablog.com

 

では, 2. は, $p\in U$, $p\rightarrow q\in U$ならば$q\in U$としていたが, $(Mp\wedge M(p\rightarrow q))\rightarrow Mq$が恒真となってしまうのでこれは誤りである. 

 

また、可能世界モデル$(W, R, v)$に対して(記号の重複を避けるため, 可能世界モデルにおける解釈は$v$と表した), すべての$w\in W$で$w\models p$となるような論理式$p$全体を$V$, ある$w\in W$とある$w^\prime\in W$に対して$wRw^\prime$, $w^\prime\models p$となるような論理式$p$全体を$U$とすると、$(V, U)$は上の意味での解釈である. (ただし, そのままでは, $D$が恒真となるので, 若干の修正が必要である.)

 

以上の準備の下で, $K$が任意の解釈$(V, U)$で恒真、つまり、論理式$p$, $q$に対して、$L(p\rightarrow q)\rightarrow(Lp\rightarrow Lq)\in V$であることを示す.

 

3. より, $p\vee q\in U$ならば$p\in U$および、2., 3.より($p\in U$ または$q\in U$) iff $p\vee q\in U$が成り立つことを用いる.

 

$L(p\rightarrow q)\in V$とし, $(Lp\rightarrow Lq)\in V$であることを示す. $L(p\rightarrow q)\in V$より, $\neg(p\rightarrow q)=p\wedge\neg q\not\in U$.

 

$Lp\not\in V$ならば, $(Lp\rightarrow Lq)\in V$であるから, $Lp\in V$である場合を考えればよい.

 

このとき$\neg p\not\in U$.

 

よって, $\neg p\wedge\neg q\not\in U$

 

$\neg q=(p\vee \neg q)\vee(\neg p\vee\neg q)$であり、$p\vee \neg q\not\in U$, $\neg p\vee\neg q\not\in U$であるから, $\neg q\not\in U$. つまり$Lq\in V$であるから, $Lp\rightarrow Lq\in V$.

 

以上によって, $L(p\rightarrow q)\rightarrow(Lp\rightarrow Lq)\in V$

 

フレームに基づかない様相論理の意味論について その2

様相論理式全体の集合を$P_\infty$とする。すなわち、$P_\infty$は、命題変数達と、論理演算子$\neg$, $\vee$ (補助的に$\rightarrow$, $\wedge$), および様相演算子$L$ (補助的に $M$)によって生成される論理式全体からなる集合である

 

解釈とは、$P_\infty$の部分集合の組$(V, U)$で、次の性質を満たすものこととする。

 

  1. $V$は真偽値関数と同様に振る舞う。つまり、$\neg p\in V$ $\Leftrightarrow$ $p\not\in V$であり、$p\vee q\in V$ $\Leftrightarrow$ ($p\in V$または$q\in V$)
  2. $p\in U$,  $p\rightarrow q\in U$ならば $q\in U$
  3. $p\in U$, $p\rightarrow q\in V$ならば$q\in U$
  4. $p\not\in U$ならば$\neg p\in U$
  5. $Mp\in V$ $\Leftrightarrow$ $p\in U$
  6. $Lp\in V$ $\Leftrightarrow\neg p\not\in U$

 

このとき、次が成り立つ。

($p\in U$または$q\in U$) $\Leftrightarrow$ $p\vee q\in U$ 

 証明 ( $\Rightarrow$) $p\rightarrow (p\vee q)\in V$だから3.による.

(\Leftarrow$) $p\vee q\in U$とする. $p\not\in U$ならば, 4.より$\neg p\in U$. $\neg p\rightarrow q=\neg\neg p\vee q=p\vee q\in U$だから、2.より$q\in U$. (証明終わり)

 

また、次が成り立つ。

任意の$(V, U)$に対して、$L(p\rightarrow q)\rightarrow(Lp\rightarrow Lq)\in V$ 

証明は次回に回す。それから、具体的な$(V, U)$の構成の仕方について触れていないが、準備が必要なので、これも後回しにする。