義務論理について考える

義務論理(Deontic logic)について考えてみます

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複素数を使った証明

六角形$\mathrm{ABCDEF}$は円に内接していて, 辺$\mathrm{AB}$, $\mathrm{CD}$, $\mathrm{EF}$はすべて円の半径に等しい.他の3辺の中点によって正三角形が定まることを証明せよ.
(Eötvös Competition 1941年)
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類題を集める(確率とベクトルの単純な合わせ問題)

以下の空欄をうめよ.
  1. 1個のサイコロを2回ふり, 出た目を順に$x$, $y$とする. 座標平面上のベクトルを$\vec{p}$を$\vec{p}=(x, y)$で定める.
    1. ベクトル$\vec{a}=(1, 1)$に対し, $\vec{a}$と$\vec{p}$が平行になる確率はである.
    2. ベクトル$\vec{b}=(1, 2)$に対し, $\vec{b}$と$\vec{p}$が平行になる確率はである.
    3. ベクトル$\vec{c}=(2, 3)$に対し, $\vec{c}$と$\vec{p}$が平行になる確率はである.
  2. 1個のさいころを4回ふり, 出た目を順に$x$, $y$, $z$, $w$とする. 座標平面上の2つのベクトル$\vec{p}=(x, y)$, $\vec{q}=(z, w)$に対し, $\vec{p}$と$\vec{q}$が平行になる確率は である.
(会津大学2001年)
赤と青のサイコロ1つずつを同時に振って, 赤のサイコロの出た目が$x$, 青のサイコロの出た目が$y$であるとき, ベクトル$\vec{a}=(x, y)$を対応させる試行を考える. このベクトル$\vec{a}$について$\lvert\vec{a}\rvert<3$となる確率はである. また, ベクトル$\vec{c}=(-1, 2)$に対して$\vec{a}\perp\vec{c}$となる確率はである. この試行を2回繰り返したとき, 1回目に決まるベクトルを$\vec{a}$として, 2回目に決まるベクトルを$\vec{b}$とする. 平面上に原点$\mathrm{O}$を固定して位置ベクトルとして見れば点$\mathrm{A}(\vec{a})$と点$\mathrm{B}(\vec{b})$が決まる. 3点$\mathrm{O}$, $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$が一直線上にある確率はである. ただし, 点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{B}$が同一の点となるときも, 3点$\mathrm{O}$, $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$が一直線上にあるとみなすことにする. さらに, 3点$\mathrm{O}$, $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$が三角形を作るとき$\triangle\mathrm{OAB}$の重心が$(3, 3)$となる条件付き確率はである. よって, $\mathrm{OAB}$が三角形であり, かつ重心が$(3, 3)$にはならない確率はである.
(愛知大学2016年)

図形の問題

任意の三角形において、たがたが一つの辺だけが、向かい合う頂点からの高さよりも小さいことを証明せよ。
$\triangle\mathrm{ABC}$を任意の三角形とする。$\mathrm{BC}=a$、$\mathrm{CA}=b$、$\mathrm{AB}=c$、$\angle\mathrm{A}=A$、$\angle\mathrm{B}=B$、$\angle\mathrm{C}=C$と略記する。すべての辺が、向かい合う頂点からの高さ以上であれば証明すべきことがないので、一つの辺、仮に$\mathrm{BC}$、が、向かい合う頂点$\mathrm{A}$からの高さより小さいと仮定して、$\mathrm{CA}$および$\mathrm{AB}$がそれぞれ$\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$からの高さ以上であることを示す。 $\mathrm{A}$からの高さは$b\sin C$、$c\sin B$と表されるので、仮定より \[ a<b\sin C, a<c\sin B \] が成り立つ。$\sin C\leqq1$、$\sin B\leqq1$とあわせて$a<b$、$a<c$であることがわかる。 $\mathrm{B}$からの高さは$a\sin C$に等しく、$a<b$から$a\sin C<b\sin C$。$\sin C\leqq1$より$a\sin c< b$。すなわち、辺$\mathrm{CA}$の長さは$\mathrm{B}$からの高さより大きい。 同様にして、辺$\mathrm{AB}$の長さは$\mathrm{C}$からの高さより大きい。以上から、主張は成り立つ。

類題を集める(くだもの)

ある$80$人の中でみかんが好きな人が$35$人, りんごが好きな人が$48$人, みかんとりんご両方が好きな人が$25$人いた. みかんとりんご両方とも好きでない人は何人いるか.
(尾道大学2008年)
あるクラス101人の中でバナナが好きな人が43人, イチゴが好きな人が39人, バナナとイチゴ両方が好きな人が32人いた. バナナとイチゴがいずれも好きでない人は人である.
(立教大学2010年)
最初の問題の答え
22人
2番目の問題の答え
ア・・・51

Pの計算

計算

ここに結果を表示します

もう一度計算する?

もうちょっと改良しよう。

様相論理の練習問題

数直線上における点$P$の移動を考える。時刻$t=0$において、$x=0$の位置に点$P$があるとし、$P$は1秒ごとにランダムに、$x$軸の正の向きに$1$または$2$進む.

 

このとき、$t=1$のときに$P$が$x=1$の位置にあることは可能であり、$t=1$のときに$x=0$の位置にないことは必然である. 

 

このような文の解釈を、適当にモデルを定義することによって実現せよ.

類題を集める(同じものを含む順列)

a, a, b, b, c, cの6文字すべてを一列に並べるとき, 次の設問に答えよ.
  1. 並べる方法は何通りあるか.
  2. aどうしがどれも隣り合わない並べ方は何通りあるか.
  3. 同じ文字どうしがどれも隣り合わない並べ方は何通りあるか.
A, A, A, B, B, Cの6文字を1列に並べるとき, 次の問に答えよ.
  1. 並べ方は全部で通りある.
  2. Aどうしが隣り合わない並べ方は通りある.
  3. 同じ文字どうしが隣り合わない並べ方は通りある.
A, A, B, B, C, Cの6文字を1列に並べる並べ方の総数は通りで, 同じ文字が並ばない並べ方は通りである.
(中部大学2014年)
AIDAIの5個の文字全部を使って文字列を作る. このとき, 次のような文字列は, それぞれ何通りあるか.
  1. 異なる文字列.
  2. 2つのAが隣り合う文字列.
  3. 同じ文字が隣り合わない文字列.
(愛知大学2003年)

類題を集める(3つの集合の要素の個数)

100人の生徒に3つの問題A, B, Cを出題したところ, Aが解けた生徒は90人, Bが解けた生徒は75人, Cが解けた生徒は60人で, AとBが解けた生徒は68人, BとCが解けた生徒は68人, CとAが解けた生徒は55人で, 3個とも解けなかった生徒は1人であった. 次の問いに答えよ.
  1. 3題すべてが解けた生徒は何人か.
  2. 3題のうち, 2題のみが解けた生徒は何人か.
  3. 3題のうち, 1題のみが解けた生徒は何人か.
数学の試験でA, B, Cの3種類の問題が出題され, その結果は以下の通りであった.
  • Aを解いた者の割合は59%
  • Bを解いた者の割合は44%
  • Cだけを解いた者の割合は4%
  • B, Cの両方を解いた者の割合は17%
  • A, Cのうちの少なくとも一方を解いた者の割合は78%
  • B, Cのうちの少なくとも一方を解いた者の割合は50%
  • A, B, Cのうちどれか一つだけを解いた者の割合は60%
このとき, 以下の値をそれぞれ求めよ.
  1. Aだけを解いた者の割合
  2. Bだけを解いた者の割合
  3. A, B, Cすべてを解いた者の割合
  4. A, B, Cどれも解かなかった者の割合

鳩の巣原理の問題

$A$を$100$以下の自然数の集合とする. また, $50$以下の自然数$k$に対し, $A$の要素でその奇数の約数のうち最大のものが$2k-1$となるものからなる集合を$A_k$とする. このとき, 次の問いに答えよ.
  1. $A$の各要素は, $A_1$から$A_{50}$までの$50$個の集合のうちのいずれか1つに属することを示せ.
  2. $A$の部分集合$B$が$51$個の要素からなるとき, $\dfrac{y}{x}$が整数となるような$B$の異なる要素$x$, $y$が存在することを示せ.
  3. 50個の要素からなる$A$の部分集合$C$で, その中に$\dfrac{y}{x}$が整数となるような異なる要素$x$, $y$が存在しないものを1つ求めよ.
$x$, $y$がともに整数であるような座標平面上の点$(x, y)$を格子点という. このとき, 次の(1), (2)に答えなさい.
  1. 座標平面上で1個の格子点を任意に選ぶ. その選んだ格子点を$(a, b)$とするとき, $a$が奇数で$b$が偶数となる確率を求めなさい.
  2. 座標平面上で5個の異なる格子点を任意に定める. このとき, そのうちある2点の中点は格子点になることを証明しなさい. ここで, 2点$(a_1, b_1)$, $(a_2, b_2)$の中点の座標は$\left(\dfrac{a_1+b_1}{2}, \dfrac{b_1+b_2}{2}\right)$で与えられる.

進歩

英語と様相論理の勉強に全力をぶっこむことにし、化学の勉強を余力でやることにした。帰って来てからドットインストールをこつこつこなして、簡単な計算機的なのとかを練習で作ることにする。

 

ユメサクを1日12題やるという日課を決めて、そのペースで一応こなしているが、記憶容量の限界以上のことをしている。どうせ二周以上するので、定着度より速さを重視する。Z会出版の「英作文のトレーニング 入門編」はもうすぐ1周が終わる。2周以上するつもりだが、代わりに新版をやろうか。ついでに、上級編もやろうか。

 

英語の勉強が一段落付けば、いよいよ、様相論理というか数学にもっと打ち込める。来年中には、そんな生活がしたいものだ。

はてなブログへのPDFの埋め込み

 

 

www.kantahara.com

 

を参考にした。それ以前に、根本的な所をできる人たちに学んで、アウトプットの質を高めないとあかんな。

反省と展望

子どもの自分に勉強しなかったために、こんな歳になって、必死こいて勉強している。

 

努力の方向を間違えてるかもしれないけれども、失った時間を取り返すつもりで、英語とか高校物理とこ高校物理とかをやってる。

 

同時代の進んでる人たちに遅れること、もう追いつけないくらいかもしれないけれども、今の勉強を終えた後、いずれ、機械学習とかやりたいなあ。

 

目下の計画は次のように立ててる。

 

12月中。ユメサクの1周目を終わらせる。計算すると1日12題ペースで終わる。

Z会出版の「英作文のトレーニング 入門編」の同じく1周目。あと30題くらい。気合でなんとかする。

 

化学については、アクセスの無機を終わらせる。重要問題集の理論分野も。

 

物理は放置プレイする。

 

年明け以降。

 

重要問題集を年度内に終えて、化学の勉強に区切りをつける。

 

リハビリ中の数学はものになるかどうか不明。来年1年の間に、Patrick Blackburn et al. の「Modal Logic」、J. L. Bell、A. B. Slomsonの「Models and Ultraproducts」、小野寛晰「情報科学における論理」を読み終えて、数学に見切りをつけるかどうか決断する。数学をしないのであれば、全精力を、プログラミングに向ける。

 

そのプログラミングのこと。

 

大学入試数学問題を数千問(万かな)入力したので、あとは、分類。評価関数的なのをを使う。それから、誰でもアクセスできて、利用できるようにしたい。せっかくこの時代に生きてるんだから、この時代のやり方で仕事をしたい。

類題を集める(係数の最大値)

$\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^{16}$の展開式において, 係数が最も大きいものは$x$の 上の項であり, その値はである.
$(x+5)^{80}$を展開したとき, $x$の何乗の係数が最大になるか答えよ.
(弘前大学2006年)

Google スプレッドシートを利用したグラフの描画

 

英語用のノートの消費量を可視化。

 

yohshiy.blog.fc2.com

を模倣。

 

グラフにおいて、12月以降の学習量が増加したのは、「ユメサク」を買った影響が大きい。和文英訳を早く卒業したいので、急いでこなさなきゃと思って、毎日さくさくこなしている。以上は心理的な要因で、他に、物理的な要因も大きい。

 

もともと、寝つきが悪かったが、さらには近年になって、眠りが浅くなり、日中に注意力を要求するタスクのパフォーマンスが低下することが多くなった。

 

そのために、睡眠の量と質をコントロールすることにし、そのために次のような手を打った。

 

一つ目には、禁煙。調べたても、ニコチンの摂取と睡眠の質の悪化の因果関係を支持するエビデンスはあまりなさそうだったが、自身の二度の禁煙経験から言えば、禁煙することで熟睡度が高まるように感じる。

 

他に、仕事柄帰りが遅く、深夜に食事をとっているが、食物繊維の多い夜食をやめ、消化しやすいものを食べるようにした。そのかわりに、弁当に野菜を入れるようにした。

 

以上の取り組みの甲斐があってか、それまでは7時間の睡眠でも、熟睡感が得られず、二度寝していたのが、今では、7時間の睡眠で十分回復できるようになった。

つぶれてる